Question

Обчислить площу фигуры, ограниченою линиями: x=0, y=0, y=1-x^2

Answer 1

Геометрический смысл определенного интеграла - площадь фигуры под графиком функции. Таким образом, задача сводится к вычислению определенного интеграла. Сначала следует определить пределы интегрирования. Для этого нужно найти пересечения кривой $y=1-x^2$ с осью x (y=0): 

$1-x^2 = 0; x^2 = 1; x = \pm1;$

 

 

Получаем такой интеграл: 

$\int\limits_{-1}^{1} 1-x^2 = (x - \frac 1 3 x^3)|_{-1}^{1}=1-\frac 1 3 + 1 -\frac 1 3 = 1 \frac 1 3$

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x = 0, y = 0 и y = 1 - x^2, вам нужно выполнить определенный интеграл. В данном случае, фигура будет ограничена абсциссой (x-осью), ординатой (y-осью) и кривой y = 1 - x^2. Интеграл будет браться от x = 0 до x = 1 (поскольку x^2 = 1 при x = 1).

Итак, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

∫[0,1] (1 - x^2) dx

Интегрируя это выражение по x, мы получим:

∫[0,1] dx - ∫[0,1] x^2 dx

Вычислим интегралы:

∫[0,1] dx = [x] |[0,1] = 1 - 0 = 1

∫[0,1] x^2 dx = (x^3/3) |[0,1] = 1/3 - 0 = 1/3

Теперь вычтем второй интеграл из первого:

1 - 1/3 = 2/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями x = 0, y = 0 и y = 1 - x^2, равна 2/3 квадратных единиц (площадных единиц).