Question

Волшебная ёлка украшена гирляндами, составленными из 2013 золотых, серебряных и медных колец. Некоторые кольца, сделанные из разных металлов, соединены проволокой попарно, причём каждое кольцо соединено с одинаковым числом других. Обязательно ли найдётся золотое кольцо, непосредственно соединенное с серебряным и медным кольцами?

Answer 1

мне кажется нет ...........................

Answer 2

Да, обязательно найдется золотое кольцо, которое непосредственно соединено с серебряным и медным кольцами. Это можно объяснить с помощью принципа Дирихле (или принципа ящика и шаров).

У нас есть 2013 кольца, и каждое кольцо соединено с одинаковым числом других кольцов. Если предположить, что нет ни одного золотого кольца, соединенного непосредственно с серебряным и медным кольцами, то оставшиеся кольца могут быть разделены на две группы: группу серебряных кольц и группу медных кольц. Каждое золотое кольцо соединено с равным числом кольцов из каждой из этих групп.

Теперь давайте посчитаем количество кольц в каждой из групп. Пусть у нас есть S серебряных колец и M медных колец. Мы знаем, что:

S + M = 2013 (всего 2013 кольца)

Если каждое золотое кольцо соединено с одинаковым числом кольцов из каждой группы, то количество связей с серебряными кольцами должно быть равно количеству связей с медными кольцами. Если мы обозначим это количество связей как K, то у нас будет:

K * S = K * M

Теперь представьте, что мы умножаем обе стороны на S:

K * S * S = K * M * S

Теперь заметим, что K * S * S - это общее количество связей с серебряными кольцами, и K * M * S - это общее количество связей с медными кольцами. Так как каждое золотое кольцо соединено с одинаковым числом кольцов, эти два выражения должны быть равны.

Таким образом, общее количество связей с серебряными кольцами равно общему количеству связей с медными кольцами. Но так как S и M - это целые числа, и мы знаем, что S + M = 2013, то общее количество связей с серебряными кольцами и общее количество связей с медными кольцами должно быть одновременно четным.

Однако, если каждое кольцо в гирлянде имеет ровно две связи (одну с каждым соседним кольцом), то общее количество связей всегда будет нечетным числом (ведь в гирлянде 2013 кольца). Это противоречие говорит о том, что предположение о том, что нет золотого кольца, соединенного непосредственно с серебряным и медным кольцами, не может быть верным. Таким образом, обязательно найдется золотое кольцо, которое соединено непосредственно с серебряным и медным кольцами.