Question

Всего в ящике 15 ручек: 3 черных, 2 красных и 10 синих. Какова вероятность взять 2 черных ручек, 5 синих и 1 красную?

Answer 1

Ответ: Вероятность взять 2 черные , 5 синих и 1 красную ручку равна 168/715

Пошаговое объяснение:

Для того чтобы найти кол-во способов  которыми мы можем достать  k  элементов  из  n элементов одного типа , мы будет использовать формулу сочетаний :

$\boldsymbol{\dispaystyle C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k !} }$

В общей сложности у нас 15 ручек , из них требуется достать
2 + 5 + 1 = 8 ручек ,  среди  которых  2 черные , 5 синих и 1 красная

Общее число способов достать 8 ручек из 15 равно

$C_{15}^ 8 = \dfrac{15!}{8! \cdot (15-8)!} = \dfrac{9\cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{7!} = 6435$

Теперь переходим к нахождению способов , которые удовлетворяют условию

2 черные ручки из 3-x мы можем достать

$C_3^2 = 3$  способами

5 синих ручек из 10 можно достать
$C_{10}^5 = \dfrac{10!}{5!\cdot 5!} = \dfrac{\diagup\!\!\! \!6\cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \diagup\!\!\!\!\!10 }{\diagup\!\!\!\!\!\!120} = \dfrac{7\cdot 8 \cdot 9 }{2} = 7 \cdot 36 = 252$  способами
1 красную из 2 можно достать

$C_2^1 = 2$  способами

А нам требуется достать 2 черные , 5 синих и* 1 красную

"и" - это и есть ключевая буква ,  с помощью  нее можно понять  , что   мы будем умножать сочетания :

$C_3^2\cdot C_{10}^5 \cdot C_2^1 = 3 \cdot 252 \cdot 2 = 1512$

Чтобы найти искомую вероятность , разделим данные способы на общее число способов достать 8 ручек из 15

$P(A) = \dfrac{1512}{6435} =\dfrac{168}{715}$

#SPJ1

Answer 2

Для расчета вероятности взять 2 черных, 5 синих и 1 красную ручку из ящика с 15 ручками, мы можем использовать комбинаторику.

Во-первых, общее число способов выбрать 8 ручек из 15 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

$C(15, 8) = \frac{15!}{8! \times (15-8)!} = \frac{15!}{8! \times 7!} = 6435.$

Теперь рассмотрим количество способов выбрать 2 черных ручки из 3, 5 синих из 10 и 1 красную из 2:

$C(3, 2) = \frac{3!}{2! \times (3-2)!} = 3,$ $C(10, 5) = \frac{10!}{5! \times (10-5)!} = 252,$ $C(2, 1) = \frac{2!}{1! \times (2-1)!} = 2.$

Теперь умножим эти значения, чтобы получить количество способов выбрать нужное количество ручек определенного цвета:

$3 \times 252 \times 2 = 1512.$

И, наконец, мы делим количество способов выбрать необходимое количество ручек определенного цвета на общее количество способов выбрать 8 ручек из 15:

$\text{Вероятность} = \frac{1512}{6435} \approx 0.2348 \text{ (до округления)}.$