Question

Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания конуса и его боковой поверхности:

$s = \pi \times r \times l + \pi \times {r}^{2}$

Итак, нам нужно найти:

r - радиус основания

l - длина образующей

Высота известно:

h = 6 см.

Пусть NO высота конуса, AB - диаметр основания (окружности) конуса.

Итак, NO - это высота в равнобедренном прямоугольном треугольном ANB, она также является биссектрисой и медианой этого треугольника. Угол ANO = 90 : 2 = 45'. Это значит треугольник ANO равнобедренный: AO = NO = 45',

h = r = 6. r нашли. По правилу равнобедренного треугольника можно найти и l.

$l = 6 \sqrt{2}$

Вот мы нашли r и l. Подставляем в формулу и решим:

$s = \pi \times r \times l + \pi \times {r}^{2} = 3.14 \times 6 \times 6 \sqrt{2} + 3.14 \times {6}^{2} = 272.9$

Ответ: S = 272.9 см^2

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно знать следующие формулы: - Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности: $$S = S_1 + S_2$$ - Площадь основания конуса равна произведению числа $$\pi$$ и квадрата радиуса основания: $$S_1 = \pi r^2$$ - Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $$\pi$$, радиуса основания и образующей конуса: $$S_2 = \pi r l$$ - Образующая конуса равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса и радиусом основания: $$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Теперь мы можем подставить данные из условия задачи в эти формулы и найти искомую площадь. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 90°, то осевое сечение является квадратом, а радиус основания равен половине высоты конуса: $$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см. Тогда образующая конуса равна: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45}$$ см. Площадь основания конуса равна: $$S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9 \pi$$ см$^2$. Площадь боковой поверхности конуса равна: $$S_2 = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{45} = 3 \pi \sqrt{45}$$ см$^2$. Площадь полной поверхности конуса равна: $$S = S_1 + S_2 = 9 \pi + 3 \pi \sqrt{45} \approx 54.83$$ см$^2$.

Ответ: площадь полной поверхности конуса равна $$54.83$$ см$^2$.