Question

Исследовать функцию на максимум и минимум: у=x^2-4x+12

Answer 1

$y = {x}^{2} - 4x + 12 \\ \frac{dy}{dx} = 2x - 4 \\ x = 2$

Изначальная функция у – это парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, найденная точка является точкой минимума функции у.

Сам минимум можно рассчитать, подставив х = 2 в исходное уравнение:

$y = {2}^{2} - 4 \times 2 + 12 = \\ = 4 - 8 + 12 = 12 - 4 = 8$

Ответ: минимум функции равен 8 (точка минимума при этом равна 2).

Answer 2

Я могу помочь вам исследовать функцию на максимум и минимум. Функция, которую вы дали, имеет вид $$y=x^2-4x+12$$

Для того, чтобы найти максимум и минимум функции, нам нужно сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Производная функции $$y=x^2-4x+12$$ равна $$y'=2x-4$$

Приравнивая производную к нулю, мы получаем $$2x-4=0$$, откуда $$x=2$$

Это означает, что функция имеет экстремум в точке $$x=2$$. Чтобы определить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную или знак первой производной.

Вторая производная функции $$y=x^2-4x+12$$ равна $$y''=2$$, которая положительна для всех значений $$x$$. Это означает, что функция выпукла вверх и имеет минимум в точке $$x=2$$.

Знак первой производной функции $$y=x^2-4x+12$$ меняется от отрицательного до положительного при переходе через точку $$x=2$$. Это также означает, что функция имеет минимум в точке $$x=2$$.

Значение функции в точке минимума равно $$y(2)=2^2-4\cdot 2+12=8$$

Таким образом, функция $$y=x^2-4x+12$$ имеет минимум в точке $$(2,8)$$ и не имеет максимума.

Ниже приведен график функции, который показывает ее минимум:

![График функции]