Question

Помогите пожалуйста исследовать функции f(x)=x3−1 1. Найти области определения и значений данной функции f. 2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической. 3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции f. 5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. 6. Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. 7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка x=0 для функции f(x)=1/x и при больших (по модулю) значениях аргумента.

Answer 1

Ответ:Дана функция: f(x)=x³−1.

1.Область определения и значений данной функции f: ограничений нет - x ∈ R.

2.Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: 

а) четной или нечетной: f(-x) = -x³−1 ≠ f(x).

                                         f(-x) = -(x³+1) ≠ -f(x).

Значит, функция не чётная и не нечётная.

б) периодической: функция не периодическая.

3.Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

С осью Оу при х =0: у = 0³ - 1 = -1.

С осью Ох при у = 0: 0 = х³ - 1,  х³ = 1,  х = ∛1 = 1.

4.Найти промежутки знакопостоянства функции f.

Находим производную: y' = 3x².

Так как производная положительна на всей области определения, то функция только возрастающая.

5.Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает: в соответствии с пунктом 4 функция возрастает от -∞ до +∞.

6.Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

Приравниваем производную нулю; 3х² = 0, х = 0.

Имеем 2 промежутка монотонности функции

На промежутках находят знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Производная y' = 3x² только положительна.

Так как производная не имеет промежутков смены знака, значит, функция не имеет ни минимума, ни максимума.

7.Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента: таких точек нет

Пошаговое объяснение:вроде как-то так

Answer 2

Давайте исследуем функцию f(x) = x^3 - 1 поэтапно:

1. Область определения и значений функции f: Область определения - это множество всех допустимых значений x, при которых функция определена. В данном случае, функция является многочленом, и многочлены определены для всех значений x, т.е., область определения f - это все действительные числа (-∞, +∞).

Чтобы найти область значений, рассмотрим поведение функции. При x -> -∞, f(x) -> -∞, и при x -> +∞, f(x) -> +∞. Таким образом, область значений функции f - это все действительные числа (-∞, +∞).

2. Особенности функции: а) Четность или нечетность функции f: Функция f(x) = x^3 - 1 - нечетная функция, так как f(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1 = -(x^3 - 1) = -f(x).

б) Периодичность функции f: Функция f(x) = x^3 - 1 - не является периодической, так как не существует такого положительного значения T, при котором f(x + T) = f(x) для всех x.

3. Точки пересечения с осями координат: Для точек пересечения с осью x (x-координата равна 0), решаем уравнение f(x) = 0: x^3 - 1 = 0 x^3 = 1 x = 1

Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью x при x = 1.

Для точек пересечения с осью y (y-координата равна 0), подставим x = 0 в уравнение f(x): f(0) = 0^3 - 1 = -1

Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью y при y = -1.

4. Промежутки знакопостоянства функции f: Для определения промежутков знакопостоянства решим неравенство f(x) > 0: x^3 - 1 > 0 x^3 > 1

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие неравенству: x > 1

Таким образом, функция f(x) > 0 при x > 1.

Теперь решим неравенство f(x) < 0: x^3 - 1 < 0 x^3 < 1

Значения x, удовлетворяющие неравенству: x < 1

Таким образом, функция f(x) < 0 при x < 1.

5. Поведение функции на промежутках возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке x > 1 и убывает на промежутке x < 1.

6. Точки экстремума: Точки экстремума - это точки, в которых функция достигает максимума или минимума. Учитывая, что функция f(x) = x^3 - 1 является многочленом, у неё нет точек экстремума.

7. Поведение функции в окрестности характерных точек: В окрестности характерной точки x = 0 у функции f(x) = x^3 - 1 поведение будет следующим:

• При x -> 0+, f(x) -> -1 (снизу).
• При x -> 0-, f(x) -> -1 (сверху).

Это означает, что функция имеет вертикальную асимптоту на оси x при x = 0.