Question

Две окружности 1 S и 2 S одинакового радиуса касаются в точке A . Третья окруж- ность 3 S такого же радиуса проходит через точку A и вторично пересекает окружности 1 S и 2 S в точках B и C . Докажите, что BC – диаметр окружности 3 S

Answer 1

Начертим окружности равных радиусов, касающихся в т.А.

Касательная а ⊥ О1А и ⊥ О2А.

Проведем прямые в и с ║ а.

Прямые  в  и  с  ⊥  О1О2.   Точки В и С их точки пересечения с окружностями.  ВС - общая касательная для окружностей.

О1ВСО2 - прямоугольник. Его стороны О1В и О2С равны и параллельны и прямые а  в  с  ⊥  О1О2.

Прямая  а  делит прямоугольник на 2 квадрата. со сторонами = R.

Отсюда О3В=О3А=О3С=R.

А значит О3 - центр искомой окружности и ее диаметр = ВС.

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружностей 1S, 2S и 3S как "r". Из условия известно, что окружности 1S и 2S касаются в точке A, и окружность 3S проходит через точку A. Теперь давайте посмотрим на следующее:

1. Рассмотрим окружность 3S. Так как она проходит через точку A, ее центр также должен находиться на линии, проходящей через A и центры окружностей 1S и 2S.

2. Так как окружности 1S и 2S касаются в точке A, расстояние между их центрами равно сумме радиусов r + r = 2r.

3. Поскольку центр окружности 3S находится на линии, проходящей через центры 1S и 2S, и расстояние между их центрами равно 2r, то центр окружности 3S находится на расстоянии r от центра окружности 1S и r от центра окружности 2S.

4. Это означает, что от центра окружности 3S до точек B и C расстояние также равно r (поскольку радиус 3S также r).

5. Если от центра окружности 3S до точек B и C расстояние равно r, то точки B и C находятся на окружности с центром в центре окружности 3S и радиусом r.

6. Диаметр окружности - это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. Таким образом, отрезок BC является диаметром окружности 3S.

Таким образом, BC действительно является диаметром окружности 3S.