Question

Найти объем шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой 8 дм, а высота 4 дм.

Answer 1

Дано:

Шар описан около правильной четырёхугольной пирамиды.

Боковое ребро = 8 дм.

Высота = 4 дм.

Найти:

V шара - ?

Решение:

Обозначим данную описанную правильную четырёхугольную пирамиду в шар буквами SABCD.

SC = 8 дм.

SO = 4 дм.

V шара = 4/3пR^3, где R - радиус шара.

Рассмотрим △SOC:

Он прямоугольный, так как SO - высота.

Найдём ОС, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)

ОС = √(SC² - SO²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 дм.

Итак, ОС = 4√3 дм.

Так как О - центр основания правильной четырёхугольной пирамиды ⇒ АС = ОС * 2 = 4√3 * 2 = 8√3 дм.

Так как данная пирамида - правильная, четырёхугольная ⇒основание данной пирамиды - квадрат.

Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Итак, ABCD - квадрат.

АС - диагональ квадрата ABCD.

d = a√2, где d - AC; a - AB, BC. CD, AD.

⇒ a = 8√3/√2 = 4√6 дм.

Итак, AB = BC = CD = AD = 4√6 дм.

R = SO² + (AB * √2/2)²/2 * SO = 4² + (4√6 * √2/2)²/2 * 4 = 8 дм.

V шара = п(4/3 * 8^3) = 2048/3п = 682 2/3п дм³

Ответ: 682 2/3п дм³

Answer 2

Чтобы найти объем шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, мы можем воспользоваться следующей формулой:

V = (1/3) * A_base * h

где: V - объем пирамиды, A_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Поскольку это правильная четырехугольная пирамида, мы можем разделить ее на четыре равных треугольника. Площадь одного из этих треугольников можно найти, используя формулу для площади треугольника:

A_triangle = (1/2) * base * height

где: base - основание треугольника, height - высота треугольника.

В данном случае, основание треугольника равно боковому ребру пирамиды, то есть 8 дм, а высота треугольника равна половине высоты пирамиды, то есть 4 дм. Подставим эти значения в формулу:

A_triangle = (1/2) * 8 дм * 4 дм = 16 дм^2

Теперь у нас есть площадь одного треугольника. Поскольку в пирамиде четыре таких треугольника, то площадь основания пирамиды равна:

A_base = 4 * A_triangle = 4 * 16 дм^2 = 64 дм^2

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив значение площади основания и высоту в формулу для объема:

V = (1/3) * 64 дм^2 * 4 дм = (1/3) * 256 дм^3 = 85.33 дм^3

Теперь у нас есть объем пирамиды. Чтобы найти объем шара, описанного вокруг этой пирамиды, можно воспользоваться следующей формулой:

V_sphere = (4/3) * π * r^3

где: V_sphere - объем шара, π (пи) - приближенное значение 3.14159, r - радиус шара.

Радиус шара равен радиусу описанной около пирамиды сферы. Поскольку пирамида описана вокруг сферы, то диагональ пирамиды является диаметром сферы. Вычислим длину диагонали пирамиды, которая равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен половине длины основания (4 дм) и другой катет равен высоте (4 дм):

d = √((4 дм)^2 + (4 дм)^2) = √(16 дм^2 + 16 дм^2) = √(32 дм^2) = 4√2 дм

Теперь, зная радиус сферы, мы можем найти её объем:

r = (1/2) * d = (1/2) * 4√2 дм = 2√2 дм

V_sphere = (4/3) * π * (2√2 дм)^3 = (4/3) * π * 8√2 дм^3 ≈ 107.29 дм^3

Таким образом, объем шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, равен примерно 107.29 кубическим дециметрам.