Question

Два носка выбираются случайным образом из ящика, в котором находится 5 коричневых и 3 зеленых. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа коричневых носков.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой и вероятностью. Пусть X - случайная величина, представляющая количество коричневых носков, выбранных из ящика.

1. Закон распределения: X может принимать значения от 0 до 2, так как мы выбираем два носка. Возможные значения X: {0, 1, 2}.

2. Функция распределения: Функция распределения (CDF) для X определяется как вероятность того, что X меньше или равно x:

F(x) = P(X ≤ x)

Давайте вычислим вероятности для каждого значения X:

• P(X = 0): Это означает, что оба выбранных носка будут зелеными. Вероятность выбрать первый зеленый носок равна 3/8, а затем второй - 2/7 (после выбора первого носка остается 7 носков в ящике). Поэтому P(X = 0) = (3/8) * (2/7) = 6/56.
• P(X = 1): Это означает, что один из носков будет коричневым, а второй - зеленым. Есть два способа выбрать коричневый носок первым и зеленый вторым, и также два способа выбора зеленого носка первым и коричневого вторым. Поэтому P(X = 1) = 2 * [(5/8) * (3/7)] = 30/56.
• P(X = 2): Это означает, что оба выбранных носка будут коричневыми. Вероятность выбрать первый коричневый носок равна 5/8, а затем второй - 4/7. Поэтому P(X = 2) = (5/8) * (4/7) = 20/56.

Теперь мы можем записать функцию распределения:

F(0) = 6/56 F(1) = (6/56) + (30/56) = 36/56 F(2) = (36/56) + (20/56) = 1

3. Математическое ожидание (среднее): Математическое ожидание (среднее) случайной величины X вычисляется как:

E(X) = Σ [x * P(X = x)]

E(X) = (0 * 6/56) + (1 * 30/56) + (2 * 20/56) = (30 + 40) / 56 = 70/56 = 35/28

4. Дисперсия: Дисперсия случайной величины X вычисляется как:

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) = (0^2 * 6/56) + (1^2 * 30/56) + (2^2 * 20/56) = (0 + 30 + 80) / 56 = 110/56

Var(X) = (110/56) - (35/28)^2 = (110/56) - (1225/784) = (1960 - 1225) / (56 * 784) = 735 / (56 * 784)

5. Среднее квадратическое отклонение: Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню из дисперсии:

σ = √(Var(X))

σ = √(735 / (56 * 784))

Это даст вам значение стандартного отклонения.

Таким образом, вы можете определить закон распределения, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа коричневых носков, выбранных случайным образом из ящика.