Question

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих снаружи вписанных кругов в точках A1, B1. Пусть A2, B2 - ортоцентр треугольников CAA1 и CBB1. Правильно ли утверждение, что прямая A2B2 перпендикулярна биссектрисе угла C?​

Answer 1

Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла   C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.

Answer 2

Да, утверждение верно. Прямая A2B2 действительно перпендикулярна биссектрисе угла C в треугольнике ABC.

Для доказательства этого факта давайте рассмотрим треугольник ABC и вписанные окружности, а также треугольники CAA1 и CBB1. Обратите внимание на следующие свойства:

1. Точка A1 - точка касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной AC.
2. Точка B1 - точка касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной BC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник CAA1. Он имеет следующие особенности:

a. Точка C - вершина треугольника ABC. b. Точка A - точка касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной AB. c. Точка A1 - точка касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной AC.

Известно, что в треугольнике CAA1 прямая A1A перпендикулярна биссектрисе угла C. Это свойство связано с тем, что A1 - точка касания вписанной окружности и, следовательно, угол A1CA равен половине угла C.

Аналогично, в треугольнике CBB1 прямая B1B перпендикулярна биссектрисе угла C.

Теперь мы видим, что прямая A1A2 является высотой треугольника CAA1, и прямая B1B2 - высотой треугольника CBB1. Таким образом, эти две прямые перпендикулярны биссектрисе угла C.

Из этого следует, что прямая A2B2, проходящая через ортоцентры треугольников CAA1 и CBB1, также перпендикулярна биссектрисе угла C треугольника ABC.