Question

У прямоугольных треугольников ABC и DEF катет AB равен катету DE, а катет BC равен катету EF. Докажите, что у этих треугольников равны гипотенузы. Пожалуйста

Answer 1

Треугольники ABC и DEF равны по двум катетам. У равных треугольников соответствующие элементы (углы, стороны) равны, то есть, AC = FD

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что гипотенузы треугольников ABC и DEF равны, можно воспользоваться свойством подобных треугольников.

Пусть AB = DE = a и BC = EF = b.

Так как треугольники ABC и DEF прямоугольные, то они подобны друг другу. Теперь проверим, являются ли они подобными по какому-либо другому критерию.

Из условия известно, что катеты этих треугольников равны. Поэтому отношение длины гипотенузы к катету для каждого из треугольников также должно быть одинаковым.

Для треугольника ABC:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{b}{c} \Rightarrow c^2 = ab.$$

Для треугольника DEF:

$$\frac{DF}{DE} = \frac{EF}{DF} \Rightarrow \frac{d}{a} = \frac{b}{d} \Rightarrow d^2 = ab.$$

Таким образом, получаем, что $c^2 = ab = d^2$. Из этого следует, что гипотенузы треугольников ABC и DEF равны.