Question

Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол 30 градусов, а диагональ основания равна 4 √2

Answer 1

Решение:

1) Так как призма правильня, то в основании лежит квадрат. АВСДА1В1С1Д1-данная призма. Из треугольника В1А1Д-прямоугольный, против угла в 30 градусов лежит кактет в 2 раза иеньше гиптенузы, следовательно сторона основания равна 2. Тогда, находим из треугольника ВСД по т. Пифагора ВД=корень из (4+4)=2корня из2

Из треугольника В1ВД находим ВВ1=корень из (16-8)=2корня из2

Тогда:

V=2*2*2корня из 2= 8корней из2

Радиус описанного около этой призмы цилиндра R=0.5BД=корень из2

Тогда его объем равен:

V=piR^2*BB1=4*pi*корень из2

Answer 2

Для определения объема правильной четырехугольной призмы, когда известны диагональ основания и угол между диагональю основания и одной из боковых граней, можно использовать следующий подход:

Пусть D1 - диагональ основания, D2 - диагональ боковой грани, и α - угол между D1 и D2. Тогда объем V призмы можно выразить формулой:

V = (1/3) * D1 * D2 * h,

где h - высота призмы.

У нас дана диагональ основания D1 = 4√2 и угол α = 30 градусов. Диагональ боковой грани D2 можно найти, используя тригонометрию. Так как призма правильная, то D2 равна диагонали одной из боковых граней, которая является равнобедренным треугольником.

Мы знаем, что угол между D1 и D2 (α) равен 30 градусов. Также, у правильной призмы диагональ основания D1 и диагональ боковой грани D2 соединяются вместе с высотой призмы h. Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения D2:

cos(α) = (D2/2) / D1,

где α = 30 градусов.

cos(30°) = (D2/2) / (4√2).

cos(30°) = (√3/2).

Теперь мы можем найти D2:

(√3/2) = (D2/2) / (4√2).

D2/2 = 2√2 * (√3/2).

D2/2 = √6.

D2 = 2√6.

Теперь у нас есть D1 = 4√2 и D2 = 2√6. Мы можем найти высоту призмы, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного D1, D2 и h:

h^2 = D1^2 - (D2/2)^2, h^2 = (4√2)^2 - ((2√6)/2)^2, h^2 = 32 - 6, h^2 = 26, h = √26.

Теперь у нас есть все необходимые данные, и мы можем найти объем призмы:

V = (1/3) * D1 * D2 * h, V = (1/3) * (4√2) * (2√6) * √26, V = (8√12/3) * √26.

Упростим выражение:

V = (8√2) * √26.

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы составляет 8√2 * √26 кубических единиц.