Question

Исследовать функцию и построить график у=х^3+6х^2+9х+8 Если можно с подробным решением

Answer 1

Ответ:

-

Пошаговое объяснение:

График нарисовал как мог) Конечно линии соединение должны быть плавнее и он должен идти в даль.

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика $y = x^3 + 6x^2 + 9x + 8$ давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.
2. Определим интервалы возрастания и убывания функции.
3. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.
4. Найдем точки пересечения функции с осями координат.
5. Построим график функции.

1. Найдем производные:

Первая производная: $y'(x) = 3x^2 + 12x + 9$

Вторая производная: $y''(x) = 6x + 12$

2. Определим интервалы возрастания и убывания функции:

Для определения интервалов возрастания и убывания функции, найдем критические точки, где $y'(x) = 0$:

$3x^2 + 12x + 9 = 0$

Это уравнение можно упростить, разделив на 3:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

$(x + 3)(x + 1) = 0$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -3$ и $x = -1$.

Для определения интервалов возрастания и убывания, мы можем взять тестовую точку в каждом из интервалов и проверить знак $y'(x)$.

• Если $x < -3$, возьмем $x = -4$. Тогда $y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
• Если $-3 < x < -1$, возьмем $x = -2$. Тогда $y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает на этом интервале.
• Если $x > -1$, возьмем $x = 0$. Тогда $y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, функция возрастает на интервалах $(-∞, -3)$ и $(-1, +∞)$, и убывает на интервале $(-3, -1)$.

3. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции:

Для этого найдем точки перегиба, где $y''(x) = 0$:

$6x + 12 = 0$

$6x = -12$

$x = -2$

Теперь возьмем тестовую точку в каждом из интервалов и проверим знак $y''(x)$:

• Если $x < -2$, возьмем $x = -3$. Тогда $y''(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0$, что означает, что функция вогнута на этом интервале.
• Если $x > -2$, возьмем $x = -1$. Тогда $y''(-1) = 6(-1) + 12 = -6 + 12 = 6 > 0$, что означает, что функция выпукла на этом интервале.

4. Найдем точки пересечения функции с осями координат:

Для $y$-оси, установим $x = 0$:

$y(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) + 8 = 0 + 0 + 0 + 8 = 8$

Таким образом, функция пересекает ось $y$ в точке $(0, 8)$.

Для $x$-оси, установим $y = 0$:

$0 = x^3 + 6x^2 + 9x + 8$

Это уравнение может быть решено численно, и его корни можно найти, используя методы численного анализа или калькулятор. Найденные корни будут точками пересечения с осью $x$.

5. Построим график функции:

Теперь, имея информацию о критических точках, интервалах возрастания и убывания, интервалах выпуклости и вогнутости, а также точках пересечения с осями координат, мы можем построить график функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x + 8$