Question

Докажите, что сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может быть квадратом целого числа.

Answer 1

10a+b+10b+a+10a+a+10b+b=22(a+b) - это сумма этих 4 чисел. Она будет полным квадратом, если сумма а+b будет равна 22, но это невозможно, так как  а и б это цифры.

Answer 2

Доказательство того, что сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может быть квадратом целого числа, можно провести следующим образом:

1. Пусть `a` и `b` - две разные ненулевые цифры (двузначные числа не могут начинаться с 0). Тогда числа, образованные с их помощью, будут: `10a+b`, `10a+a`, `10b+a`, `10b+b`. Их сумма будет равна:

   10a+b+10a+a+10b+a+10b+b = 22a+22b = 22*(a+b)
   

Здесь `22` - это наименьшее число, которое может быть представлено в виде суммы двух различных цифр .

2. Так как числа `2` и `11` взаимно простые, а сумма должна быть квадратом, то второй ненулевой множитель `(a+b)` должен делиться на `22`. Но это невозможно, так как `a` и `b` - цифры, то их сумма не превышает `9+9=18` .

3. Таким образом, сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может быть квадратом натурального числа. Доказательство завершено.