Question

Найти неопределённый интеграл от tg^3 (x) dx максимально подробно

Answer 1

$\int {tg^3x} \, dx=\int {tgx tg^2x} \, dx=\int {tgx\left(\frac{1}{cos^2x}-1\right)}\, dx=\\\\=\int {\frac{tgx}{cos^2x}}\, dx-\int{tg}\,dx=\int {tgx}\, d(tgx)+ \int {\frac{-sinx}{cosx}}\, dx=\\\\=0.5tg^2x+\int {\frac{1}{cosx}} \, d(cosx)=0.5tg^2x+ln|cosx|+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от функции tg^3(x), мы должны использовать метод интегрирования по частям несколько раз.

Начнем с записи данной функции в виде произведения: tg^3(x) = tg(x) * tg^2(x).

Используя формулу интегрирования произведения функций, получаем:

∫tg^3(x) dx = ∫tg(x) * tg^2(x) dx.

Мы можем выделить tg(x) и выполнить замену переменной, чтобы упростить интеграл. Для этого пусть u = tg(x), тогда du = sec^2(x) dx.

Теперь наш интеграл выглядит следующим образом:

∫tg^3(x) dx = ∫u * tg^2(x) du.

Перепишем tg^2(x) в виде sec^2(x) - 1:

∫u * tg^2(x) du = ∫u * (sec^2(x) - 1) du.

Раскроем скобки и разделим интеграл на две части:

∫u * sec^2(x) du - ∫u du.

Первый интеграл u * sec^2(x) du может быть легко вычислен с помощью подстановки u = tg(x):

∫u * sec^2(x) du = ∫u d(tg(x)) = u * tg(x) - ∫tg(x) du.

Второй интеграл ∫u du просто равен (1/2)*u^2.

Подставим это в исходное выражение и получим:

∫tg^3(x) dx = (u * tg(x) - ∫tg(x) du) - (1/2)*u^2.

Теперь вычислим каждый отдельный интеграл.

∫tg(x) du = ∫tg(x) d(tg(x)) = (tg(x))^2/2 + C1.

∫tg(x) du = (1/2)*u^2 + C2.

Подставим результаты обратно в исходное выражение:

∫tg^3(x) dx = (u * tg(x) - (tg(x))^2/2 - (1/2)*u^2) + C.

Где C1 и C2 — произвольные постоянные, и C — константа интегрирования. Полученное выражение является ответом на задачу по нахождению неопределенного интеграла от функции tg^3(x).