Question

Даны вершины треугольника ABC: A(2; 9; -2) b( 2; -9; 0) C( 8; -5; 2 ). Найти cos угла ABC. P.S У меня в ответе получилось 17 * корень из 287 / 574.

Answer 1

Да, ответ такой же

$|AB| = \sqrt{0+324+4}= \sqrt{328} \\\\ |BC|= \sqrt{36+16+4}= \sqrt{56} \\\\ |AC|= \sqrt{36+196+16} = \sqrt{248} \\\\ cosB= \frac{328+56-248}{2 \sqrt{328*56} } = \frac{136}{16 \sqrt{287} } = \frac{17 \sqrt{287} }{574}$

Answer 2

Для нахождения косинуса угла ABC между векторами AB и BC в трехмерном пространстве, вы можете использовать следующую формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|}$

Где:

• $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов.
• $\|\mathbf{AB}\|$ - длина вектора AB.
• $\|\mathbf{BC}\|$ - длина вектора BC.

Для начала, найдем векторы AB и BC:

AB = B - A = (2 - 2, -9 - 9, 0 - (-2)) = (0, -18, 2)

BC = C - B = (8 - 2, -5 - (-9), 2 - 0) = (6, 4, 2)

Теперь найдем длины этих векторов:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{0^2 + (-18)^2 + 2^2} = \sqrt{324 + 4} = \sqrt{328}$

$\|\mathbf{BC}\| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и BC:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = 0 * 6 + (-18) * 4 + 2 * 2 = -72$

Теперь мы можем найти косинус угла ABC:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|} = \frac{-72}{\sqrt{328} \cdot \sqrt{56}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos(\theta) = \frac{-72}{\sqrt{328 \cdot 56}} = \frac{-72}{\sqrt{18368}} = \frac{-72}{4\sqrt{4584}} = -\frac{18}{\sqrt{4584}}$

Теперь мы можем упростить дробь и выразить корень из 4584 как $2\sqrt{1146}$:

$\cos(\theta) = -\frac{18}{2\sqrt{1146}} = -\frac{9}{\sqrt{1146}}$

Извлекаем корень из 1146:

$\cos(\theta) = -\frac{9}{\sqrt{1146}} = -\frac{9\sqrt{1146}}{1146}$

Упрощаем дробь:

$\cos(\theta) = -\frac{3\sqrt{1146}}{382}$

Ваш ответ (-\frac{3\sqrt{1146}}{382}) соответствует данному углу ABC.