Question

Найти наибольший отрицательный корень уравнения sin2x+cos2x+sin6x=0 Варианты ответов: 1)-45 2)-30 3)-7,5 4)0

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Давайте попробуем найти наибольший отрицательный корень уравнения sin(2x) + cos(2x) + sin(6x) = 0.

Сначала давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями, чтобы упростить уравнение:

sin(2x) + cos(2x) + sin(6x) = 0

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), так что можем переписать уравнение:

2sin(x)cos(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) + sin(6x) = 0

Теперь объединим два слагаемых, содержащих sin(x) и cos(x):

2sin(x)cos(x) - sin^2(x) + cos^2(x) + sin(6x) = 0

Используем тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2sin(x)cos(x) - 1 + sin(6x) = 0

Теперь давайте разберемся с sin(6x). Мы можем воспользоваться формулой двойного угла для sin:

sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x)

И подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) - 1 + 2sin(3x)cos(3x) = 0

Теперь давайте факторизуем это уравнение, чтобы найти корни:

2sin(x)cos(x) - 1 + 2sin(3x)cos(3x) = 0

2(sin(x)cos(x) + sin(3x)cos(3x)) - 1 = 0

2sin(x)[cos(x) + sin(3x)cos(3x)] - 1 = 0

Теперь видим, что у нас есть общий множитель 2sin(x), который можно вынести за скобки:

2sin(x)[cos(x) + sin(3x)cos(3x)] = 1

Теперь давайте рассмотрим сложное выражение в скобках:

cos(x) + sin(3x)cos(3x)

Мы видим, что это выражение содержит и cos(x) и sin(3x)cos(3x). Если мы хотим, чтобы оно было равно 0, то можно рассмотреть два случая:

1. cos(x) = 0 2. sin(3x)cos(3x) = 0

Давайте начнем с первого случая:

1. cos(x) = 0

Это означает, что x = (2n + 1/2)π, где n - целое число.

Теперь перейдем ко второму случаю:

2. sin(3x)cos(3x) = 0

Здесь можно рассмотреть два подслучая:

a. sin(3x) = 0 b. cos(3x) = 0

a. sin(3x) = 0

Это означает, что 3x = kπ, где k - целое число. Тогда x = kπ/3.

b. cos(3x) = 0

Это означает, что 3x = (2m + 1/2)π, где m - целое число. Тогда x = (2m + 1/6)π.

Теперь у нас есть несколько возможных значений x, которые удовлетворяют уравнению:

x = (2n + 1/2)π x = kπ/3 x = (2m + 1/6)π

Теперь давайте рассмотрим, какие из этих значений являются наибольшими отрицательными корнями:

1) (2n + 1/2)π - это корни, близкие к целым числам π/2, 3π/2, 5π/2 и так далее. 2) kπ/3 - это корни, близкие к нулю при k = 0, и корни, близкие к -π/3, -2π/3, -4π/3 и так далее. 3) (2m + 1/6)π - это корни, близкие к -π/6, π/6, -5π/6, 7π/6 и так далее.

Среди этих значений наибольший отрицательный корень - это x = -5π/6. Таким образом, правильный ответ - 3) -7,5.