Question

Найдите производную тригонометрической функций f(x)=cosx+2sinx+tgx+ctgx

Answer 1

-sinx+2cosx+1/cos^2x-1/sin^2x

Answer 2

Для нахождения производной тригонометрической функции f(x) = cosx + 2sinx + tgx + ctgx, мы должны продифференцировать каждое слагаемое по отдельности и затем сложить результаты.

1. Производная cosx равна -sinx.

2. Производная 2sinx равна 2cosx.

3. Производная tgx равна sec^2(x), где sec^2(x) - квадрат секанса.

4. Производная ctgx равна -cosec^2(x), где cosec^2(x) - квадрат косеканса.

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = -sinx + 2cosx + sec^2(x) - cosec^2(x)

Можно также переписать производную в виде:

f'(x) = -sinx + 2cosx + 1/cos^2(x) - 1/sin^2(x)

или

f'(x) = -sinx + 2cosx + cos^2(x)/cos^2(x) - sin^2(x)/sin^2(x)

Далее можно упростить эту производную, объединив соответствующие слагаемые:

f'(x) = 2cosx - sinx + (cos^2(x) - sin^2(x))/(cos^2(x)sin^2(x))

Используя основное тригонометрическое тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), мы можем упростить производную до следующего вида:

f'(x) = 2cosx - sinx + cos(2x)/(cos^2(x)sin^2(x))

Таким образом, производная функции f(x) равна 2cosx - sinx + cos(2x)/(cos^2(x)sin^2(x)).