Question

Найдите предел последовательности x n = √ (n^2 + an + b) − √(n^2 + cn + d) . Параметры a , b , c и d положительны.

Answer 1

$lim_{n \to +\infty} \ \sqrt{n^2+an+b}-\sqrt{n^2+cn+d} = \frac{n^2+an+b-n^2-cn-d}{\sqrt{n^2+an+b}+\sqrt{n^2+cn+d}} = \\ \frac{ n(a-c)+b-d}{n (\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{c}{n}+\frac{d}{n^2}})} = \frac{a-c+\frac{b-d}{n}}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0+0}} = \frac{a-c}{2}$

Answer 2

Для нахождения предела данной последовательности, мы можем воспользоваться методом рационализации. Для этого давайте умножим и поделим каждое слагаемое на выражение, которое приближенно равно 1, чтобы избавиться от разности двух корней. Для этой цели давайте воспользуемся следующими подходами:

1. Рассмотрим выражение √(n^2 + an + b) - √(n^2 + cn + d).

2. Умножим и поделим каждое слагаемое на соответствующее выражение, которое будет приближенно равно 1.

3. Выразим это выражение следующим образом:

   √(n^2 + an + b) - √(n^2 + cn + d) = (√(n^2 + an + b) - √(n^2 + cn + d)) * ([(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)] / [(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)]))

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов:

4. (√(n^2 + an + b) - √(n^2 + cn + d)) * ([(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)] / [(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)])) = [(n^2 + an + b) - (n^2 + cn + d)] / [(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)]

5. Упростим числитель и знаменатель:

   (an + b - cn - d) / [(√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)]

Теперь мы можем рассмотреть предел этой последовательности по мере n стремится к бесконечности. Параметры a, b, c и d положительны, поэтому:

• Предел числителя (an + b - cn - d) при n -> ∞ равен бесконечности, так как разность положительных чисел равна положительной бесконечности.

• Предел знаменателя (√(n^2 + an + b) + √(n^2 + cn + d)) при n -> ∞ также равен бесконечности.

Поскольку предел числителя равен бесконечности, а предел знаменателя также равен бесконечности, мы можем использовать правило неопределенности "бесконечность / бесконечность". Для определения предела подобных случаев часто применяется правило Лопиталя.

Однако, для применения правила Лопиталя, нам нужно взять производную числителя и знаменателя по n. Производные числителя и знаменателя будут сложными, и их упрощение может потребовать дополнительных данных о значениях параметров a, b, c и d. В этом контексте сложно определить точное значение предела последовательности без дополнительных данных.

Если у вас есть конкретные значения параметров a, b, c и d, или если есть дополнительная информация о последовательности, пожалуйста, предоставьте их, и я постараюсь рассмотреть вопрос более подробно.