Question

Саша задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 87. Какое число задумал Саша

Answer 1

Ответ:

Предположим, что в задуманном числе а десятков и b единиц. Тогда само число равно 10 • а + b. Если прибавить сумму цифр, то получится 11 * а + 2 • b, и это число равно 87.

Значит, 11 • а = 87 - 2 • b, но 2b < 18, поэтому 69 < 11 * а < 87. Число 11а делится на 11, поэтому 11а = 77, то есть а = 7.

Получается 11 * 7 + 2 • b — 87, откуда b = 5. Значит, задумано число 75.

Ответ: 75.

Answer 2

Давайте обозначим задуманное число через $N$. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_k$ - цифры этого числа. Тогда задуманное число можно записать как:

$N = a_1 \cdot 10^{k-1} + a_2 \cdot 10^{k-2} + \ldots + a_k \cdot 10^0$

Сумма цифр этого числа равна $a_1 + a_2 + \ldots + a_k$.

Условие задачи гласит, что к числу $N$ прибавили сумму его цифр и получили 87:

$N + (a_1 + a_2 + \ldots + a_k) = 87$

Теперь давайте рассмотрим, как можно выразить сумму цифр числа $N$. Заметим, что каждая цифра участвует в формировании нужной суммы $k$ раз (раз для каждого разряда, в который она входит). Таким образом, сумма цифр можно записать как:

$a_1 + a_2 + \ldots + a_k = a_1 \cdot (10^{k-1}) + a_2 \cdot (10^{k-2}) + \ldots + a_k \cdot (10^0)$

Теперь у нас есть два выражения для суммы числа и суммы его цифр:

$N + (a_1 + a_2 + \ldots + a_k) = 87$

$a_1 \cdot (10^{k-1}) + a_2 \cdot (10^{k-2}) + \ldots + a_k \cdot (10^0) = a_1 + a_2 + \ldots + a_k$

Выразим $N$ через сумму цифр:

$N = 87 - (a_1 + a_2 + \ldots + a_k)$

Подставим в это выражение второе уравнение:

$N = 87 - (a_1 \cdot (10^{k-1}) + a_2 \cdot (10^{k-2}) + \ldots + a_k \cdot (10^0))$

Таким образом, мы можем представить задуманное число через сумму его цифр и уравнение:

$N = 87 - (a_1 \cdot (10^{k-1}) + a_2 \cdot (10^{k-2}) + \ldots + a_k \cdot (10^0))$

Теперь нужно рассмотреть различные варианты для $k$ и цифр $a_1, a_2, \ldots, a_k$. Так как мы ищем натуральное число, которое удовлетворяет условиям, мы можем предположить, что $k$ и $a_i$ являются положительными целыми числами.

Начнем с простых случаев:

1. Пусть $k = 1$. Тогда у нас есть одна цифра, и мы можем просто представить число одной цифрой: $N = 87 - a_1$. Чтобы это число было натуральным, $a_1$ 0 0