Question

Решите :sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x

Answer 1

$sin3x+sinx = 2 sin\frac{3x+x}{2} cos \frac{3x-x}{2} =2sin2xcosx$
$2sin2xcosx+2cosx = 2cos^2x+2sinxcosx$
$sin2xcosx+cosx=cos^2x+sinxcosx$
$cosx(sin2x+1) = cosx(cosx+sinx)|$
$cosx(sin2x+1)-cosx(cosx+sinx)=0$
$cosx((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$
$cosx=0; x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
$((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$
$sin2x+1=cosx+sinx$
$sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=sinx+cosx$
$(sinx+cosx)^2 = (sinx+cosx)$
$(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)=0$
$(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)=0$

$sinx+cosx =0$
$sinx = -cosx |:cosx$
$tgx= -1$
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$

$sinx+cosx = 1$
$(sinx+cosx)^2=1^2$
$sin^2x+2cosxsinx+cos^2x=1$
$1+2sinxcosx=1$
$2sinxcosx=0$
$sinxcosx=0$
$sinx=0$
$x = 2 \pi n$
$cosx=0$
$x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
т.к. уравнение  $sinx+cosx = 1$ мы возводили к квадрат, то у нас могли появиться побочные корни. 
корень  $x = -\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ не является решением уравнения  $sinx+cosx = 1$, что проверяется подстановкой. (синус - нечетная функция, sin(-x)=-sinx,  $-1+0 \neq 1$)
корнем уравнения  $sinx+cosx = 1$ является только:
$x = \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$.
*но корнем  $cosx=0$ (см. 7 строку решения) является  $x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$, поэтому:
ответ: $x = 2 \pi n$
$x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$

Answer 2

sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x
2sin2xcosx+2cosx=2sinxcosx+2cos²x
4sinxcos²x+2cosx-2sinxcosx-2cos²x=0
2cosx(2sinxcosx+1-sinx-cosx)=0
cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈z
(2sinxcosx+sin²x+cos²x-(sinx+cosx)=0
(sinx-cosx)²-(sinx+cosx)=0
(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)=0
sinx+cosx=0/cosx≠0
tgx+1=0⇒tgx=-1⇒x=-π/4+πk,k∈z
sinx+cosx-1=0
2sinx/2cosx/2+cos²x/2-sin²x/2-sin²x/2-cos²x/2=0
-2sin²x/2+2sinx/2cosx/2=0
-2sinx/2*(sinx/2-cosx/2)=0
sinx/2=0⇒x/2=πk⇒x=2πk,k∈z
sinx/2-cosx/2=0/cosx/2
tgx/2-1=0⇒tgx/2=1⇒x/2=π/4+πk⇒x=π/2+2πk,k∈z
Ответ 
x=π/2+πk,k∈z
x=-π/4+πk,k∈z
x=2πk/,k∈z

Answer 3

Давайте попробуем решить уравнение sin(3x) + sin(x) + 2cos(x) = sin(2x) + 2cos^2(x) путем преобразования и упрощения:

1. Используем тригонометрические тождества:

   • sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
   • sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
   • 2cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

2. Заменяем эти значения в уравнении: 3sin(x) - 4sin^3(x) + sin(x) + 2cos(x) = 2sin(x)cos(x) + 1 - sin^2(x)

3. Упрощаем уравнение: (3sin(x) + sin(x)) - 4sin^3(x) + 2cos(x) = 2sin(x)cos(x) + 1 - sin^2(x)

4. Сгруппируем подобные члены и преобразуем уравнение: 4sin(x) - 4sin^3(x) + 2cos(x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

5. Попробуем выразить sin(x) через cos(x) с использованием тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

6. Заменяем sin^2(x) в уравнении: 4sin(x) - 4(1 - cos^2(x))sin(x) + 2cos(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

7. Упрощаем: 4sin(x) - 4sin(x) + 4cos^2(x)sin(x) + 2cos(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

8. Сгруппируем подобные члены: 4cos^2(x)sin(x) - 1 = 0

9. Теперь выразим sin(x) через cos(x): sin(x) = (1 / (4cos^2(x)))

10. Заменяем sin(x) в исходном уравнении: 4cos^2(x)(1 / (4cos^2(x))) - 1 = 0

11. Упрощаем: 1 - 1 = 0

Таким образом, уравнение не имеет решений.