Question

1. Определите, является ли функция f(x) четной или нечетной, и найдите ее наименьший положительный период, если f(x) = 1/2tg3x. 2. Решите уравнение: a) √2cosx = 1; b) sinx+cosx = 0; c) 2cos²x-sinx = -1; d) (cos3x-cosx)/sinx = 0. 3. Решите неравенство: ctg(π/2+x) > √3.

Answer 1

F(-x) = (1/2)*tg(3*(-x) ) = (1/2)*(tg(-3x)) = [ т.к. тангенс - функция нечетная, то ] = -(1/2)*(tg(3x)) = -f(x), и функция f(x) нечетная.
f(x+T) = (1/2)*tg(3*(x+T)) = (1/2)*tg(3x+3T) = W
наименьший положительный период тангенса это пи, т.е.
3*T = п, <=> T = п/3.
W = (1/2)*tg(3x+3*(п/3)) = (1/2)*tg(3x+п) = (1/2)*tg(3x) = f(x).

Answer 2

1. Функция f(x) = 1/2tg3x не является ни четной, ни нечетной. Наименьший положительный период функции tg3x равен π/3.

2. a) √2cosx = 1 cosx = 1/√2 x = π/4 + 2πn, где n - целое число

b) sinx*cosx = 0 Решения: x = kπ, где k - целое число или x = π/4 + πn, где n - целое число

c) 2cos²x - sinx = -1 cos²x = sinx - 1 cos²x = 1 - sin²x 1 - sin²x - sinx - 1 = 0 sinx(sinx + 1) = 0 Решения: sinx = 0 или sinx = -1 Для sinx = 0: x = kπ, где k - целое число Для sinx = -1: x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число

d) (cos3x - cosx)/sinx = 0 cos3x - cosx = 0 cos3x = cosx 3x = ±x + 2πn x = πn, где n - целое число

3. ctg(π/2+x) > √3 tg(π/2+x) < 1/√3 π/2 + x < arctg(1/√3) + πn, где n - целое число x < arctg(1/√3) + πn - π/2, где n - целое число