Question

Помогите найти производную f(x)=ln tg5x

Answer 1

(5tan^2(5x)+5)/(tan(5x))

Answer 2

Давайте найдем производную функции $f(x) = \ln(\tan(5x))$ с помощью правила цепочки (chain rule).

1. Сначала найдем производную внутренней функции $\tan(5x)$: $\frac{d}{dx}(\tan(5x)) = 5\sec^2(5x)$

2. Теперь найдем производную внешней функции $\ln(u)$, где $u = \tan(5x)$: $\frac{d}{du}(\ln(u)) = \frac{1}{u}$

3. Теперь применяем правило цепочки, умножая результаты из шагов 1 и 2: $\frac{d}{dx}(\ln(\tan(5x))) = \frac{1}{\tan(5x)} \cdot 5\sec^2(5x)$

Теперь мы можем упростить это выражение:

$\frac{d}{dx}(\ln(\tan(5x))) = 5\sec^2(5x) \cdot \frac{1}{\tan(5x)}$

Далее, можно заметить, что $\sec(5x) = \frac{1}{\cos(5x)}$ и $\tan(5x) = \frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}$, поэтому:

$\frac{d}{dx}(\ln(\tan(5x))) = 5 \cdot \frac{\frac{1}{\cos^2(5x)}}{\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}}$

$\frac{d}{dx}(\ln(\tan(5x))) = 5 \cdot \frac{1}{\sin(5x)}$

Итак, производная функции $f(x) = \ln(\tan(5x))$ равна $5 \cdot \csc(5x)$, где $\csc(x)$ - косеканс, обратная к синусу.