Question

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20 см, а радиус вписанной окружности 4 см. Пожалуйста с рисунком, и полным объяснением

Answer 1

Ответ:

Периметр прямоугольного треугольника ABC равен 50 сантиметров

Пошаговое объяснение:

Дан прямоугольный треугольник (смотри фотографию). Назовем его ABC. По условию задачи гипотенуза прямоугольного треугольника (сторона BC) равна 20см, а радиус вписанной окружности равен 4см. Нам нужно найти периметр прямоугольного треугольника ABC. Периметром прямоугольного треугольника мы назовем сумму длин его сторон, тоесть сумму длин его катетов и гипотенузы. Полупериметр прямоугольного треугольника мы найдем по формуле:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

где a и b катеты прямоугольного треугольника ABC

c-гипотенуза прямоугольного треугольника ABC

Периметр прямоугольного треугольника равен двум его полупериметрам, тоесть

P=2p

Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC по формуле: (1)

$s = \frac{1}{4} c {}^{2} \times \sin( \alpha )$

где угол alpha равен 90° а это прямой угол ABC. Найдем синус прямого угла alpha:

$\sin( \alpha ) = \sin(90) = \\ = \sin( \frac{\pi}{2} ) = 1$

Подставим значения синуса прямого угла alpha и значения длины гипотенузы прямоугольного треугольника в формулу (1) Имеем:

$s = \frac{1}{4} c {}^{2} \times \sin( \alpha )$

где с-гипотенуза прямоугольного треугольника

угол alpha равен 90° а это угол ABC

$s = \frac{1}{4} c {}^{2} \times \sin( \alpha ) = \\ = \frac{1}{4} 20 {}^{2} \times 1 = \\ = \frac{400}{4} = 100$

Мы нашли площадь прямоугольного треугольника ABC и она равна 100см^2

Найдем периметр прямоугольного треугольника ABC. Нам известно, что в любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность, радиус которой найдем по формуле. (2)

$r = \frac{s}{p}$

где s-площадь прямоугольного треугольника ABC и она равна 100см^2

p-полупертметр прямоугольного треугольника ABC

r-радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник ABC и он равен 4см. Отсюда полупериметр прямоугольного треугольника ABC равен: (3)

$p = \frac{s}{r}$

Подставим значения площади (s=100см^2) прямоугольного треугольника ABC и радиуса вписанной окружности (r=4см) в формулу (3). Имеем:

$p = \frac{s}{r} = \frac{100}{4} = 25$

Мы нашли полупериметр прямоугольного треугольника ABC и он равен 25см.

Нам известно, что периметр равен двум полупериметрам

Поэтому периметр прямоугольного треугольника равен:

$p = 2p = 2 \times 25 = 50$

Мы нашли периметр прямоугольного треугольника ABC и он равен 50см

Ответ: Периметр прямоугольного треугольника ABC равен 50 сантиметров.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и вписанных окружностей.

Дано:

• Гипотенуза треугольника (c) = 20 см.
• Радиус вписанной окружности (r) = 4 см.

Для начала обозначим стороны треугольника: a и b, где "a" и "b" - катеты, а "c" - гипотенуза.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне треугольника в точке касания, поэтому он является высотой треугольника. Таким образом, "r" является высотой треугольника, опущенной на гипотенузу.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника, где "S" - площадь, "a" и "b" - катеты, "c" - гипотенуза и "r" - радиус вписанной окружности:

S = (a * b) / 2

Так как "S" также можно выразить как полупроизведение гипотенузы на высоту, мы имеем:

S = (c * r) / 2

Подставляем известные значения:

S = (20 см * 4 см) / 2 S = 40 см²

Теперь у нас есть площадь треугольника. Для нахождения периметра нам нужно найти длину оставшихся сторон. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

a² + b² = c²

где "a" и "b" - катеты, а "c" - гипотенуза.

Мы знаем, что "c" = 20 см и "r" = 4 см, и "r" - это высота, проведенная к гипотенузе. Таким образом, "a" и "b" - это катеты, которые нам нужно найти. Мы можем записать:

a² + b² = (c - 2r)²

a² + b² = (20 см - 2 * 4 см)² a² + b² = 12 см²

Теперь нам известна сумма квадратов катетов. Мы можем воспользоваться этими данными, чтобы найти длины катетов:

a² + b² = 12 см²

a² + b² = 12 см² a² + b² = 144 см²

Так как a² + b² = 144 см², мы можем найти a и b как корни из этого уравнения. Однако, чтобы получить два возможных значения для катетов, мы также должны учесть, что "a" и "b" могут быть переставлены, и, следовательно, a² и b² могут быть разными.

Поэтому a = 6 см и b = 6 см (или a = -6 см и b = -6 см, но отрицательные значения не имеют смысла в контексте длин сторон).

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника:

• a = 6 см
• b = 6 см
• c = 20 см

И периметр (P) треугольника можно найти как сумму длин всех его сторон:

P = a + b + c P = 6 см + 6 см + 20 см P = 32 см

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 32 см.