Question

Найдите решение уравнения:32^x+3 *3^3x+1 *625^x+2 =600^x+7

Answer 1

Нужно ставить скобки!

$32^{x+3}\cdot 3^{3x+1}\cdot 625^{x+2}=600^{x+7}\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^5 \right )^{x+3}\cdot 3^{3x+1}\cdot \left ( 25^2 \right )^{x+2}}{\left ( 2^3\cdot 3\cdot 25 \right )^{x+7}}=1$

$\frac{2^{5(x+3)}\cdot 3^{3x+1}\cdot 25^{2(x+2)}}{2^{3(x+7)}\cdot 3^{x+7}\cdot 25^{x+7}}=1\Leftrightarrow 2^{5(x+3)-3(x+7)}\cdot 3^{2x+1-7}\cdot 25^{2(x+2)-x-7}=1$

$2^{5x+5\cdot 3-3x-3\cdot 7}\cdot 3^{-6+2x}\cdot 25^{2x+2\cdot 2-x-7}=1\Leftrightarrow 2^{2x-6}\cdot 3^{2x-6}\cdot 25^{x-3}=1$

$\left ( 2^2\cdot 3^2\cdot 25 \right )^{x-3}=1\Leftrightarrow 900^{x-3}=1\Leftrightarrow x-3=0\Rightarrow x=3$

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться логарифмическими свойствами. Давайте начнем с логарифмирования обеих сторон уравнения. Мы можем использовать любое основание логарифма, но для удобства выберем натуральный логарифм (ln):

ln(32^x+3 * 3^3x+1 * 625^x+2) = ln(600^x+7)

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов:

ln(32^x+3) + ln(3^3x+1) + ln(625^x+2) = ln(600^x+7)

Теперь мы можем использовать степенные свойства логарифмов:

(x+3)ln(32) + (3x+1)ln(3) + (x+2)ln(625) = (x+7)ln(600)

Давайте заметим, что 32 = 2^5, 3^3 = 27, и 625 = 5^4:

(x+3)ln(2^5) + (3x+1)ln(27) + (x+2)ln(5^4) = (x+7)ln(2^3 * 3 * 5^2)

Теперь воспользуемся свойством логарифма, которое позволяет перемещать показатели степени вперед и умножать их:

5(x+3)ln(2) + (3x+1)ln(3^3) + 4(x+2)ln(5) = (x+7)(ln(2^3) + ln(3) + 2ln(5))

Теперь упростим выражения:

5xln(2) + 15ln(2) + 9xln(3) + 3ln(3) + 4xln(5) + 8ln(5) = (x+7)(3ln(2) + ln(3) + 2ln(5))

Теперь раскроем скобки справа:

5xln(2) + 15ln(2) + 9xln(3) + 3ln(3) + 4xln(5) + 8ln(5) = 3xln(2) + 7ln(2) + xln(3) + 7ln(3) + 2xln(5) + 14ln(5)

Теперь выразим x, объединяя подобные члены:

5xln(2) - 3xln(2) - xln(3) + 9xln(3) - 2xln(5) + 4xln(5) = 7ln(2) - 15ln(2) + 7ln(3) - 3ln(3) + 14ln(5) - 8ln(5)

Теперь упростим это уравнение:

x(5ln(2) - 3ln(2) - ln(3) + 9ln(3) - 2ln(5) + 4ln(5)) = 7ln(2) - 15ln(2) + 7ln(3) - 3ln(3) + 14ln(5) - 8ln(5)

x(2ln(2) + 6ln(3) + 2ln(5)) = 2ln(2) + 4ln(3) + 6ln(5)

Теперь выразим x:

x = (2ln(2) + 4ln(3) + 6ln(5)) / (2ln(2) + 6ln(3) + 2ln(5))

x = (ln(2^2) + ln(3^4) + ln(5^6)) / (ln(2^2) + ln(3^6) + ln(5^2))

x = ln(2^2 * 3^4 * 5^6) / ln(2^2 * 3^6 * 5^2)

Теперь мы можем сократить степени в числителе и знаменателе:

x = ln(2^2 * 3^4 * 5^6) / ln(2^2 * 3^6 * 5^2)

x = ln(2^2 * 3^4 * 5^6) / ln(2^2 * 3^4 * 5^2)

x = ln(2^2 * 3^4 * 5^6) / ln(2^2 * 3^4 * 5^2)

Теперь мы видим, что степени в числителе и знаменателе одинаковы, поэтому они сокращаются:

x = 1

Итак, решением уравнения является x = 1.