Question

2 sin^2x = cos x + 1, решите, пожалуйста )

Answer 1

$2\sin^2x=\cos x+1\\2(1-\cos^2x)=\cos x+1\\2\cos^2x+\cos x-1=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\2t^2+t-1=0\\D=1+4\cdot2=9\\t_{1,2}=\frac{-1\pm3}4\\t_1=-1,\;t_2=\frac12\\\\\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos x=\frac12\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения 2sin^2(x) = cos(x) + 1 сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Отсюда мы можем выразить cos(x) следующим образом:

cos(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное уравнение:

2sin^2(x) = (1 - sin^2(x)) + 1

Теперь решим уравнение относительно sin(x):

2sin^2(x) = 1 - sin^2(x) + 1

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

3sin^2(x) + sin(x) - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = 1 и c = -2. Подставим эти значения:

D = (1)^2 - 4(3)(-2) D = 1 + 24 D = 25

Теперь мы можем найти значения sin(x) с использованием квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √D) / (2a)

sin(x) = (-1 ± √25) / (2 * 3)

sin(x) = (-1 ± 5) / 6

Теперь у нас есть два возможных значения sin(x):

1. sin(x) = (5 - 1) / 6 = 4/6 = 2/3
2. sin(x) = (-5 - 1) / 6 = -6/6 = -1

Теперь найдем соответствующие значения x, используя обратную функцию синуса:

1. x1 = arcsin(2/3)
2. x2 = arcsin(-1)

Теперь найденные значения x1 и x2 представляют решения уравнения в диапазоне от 0 до 2π (или от 0 до 360 градусов), так как они соответствуют значениям sin(x). Вам также могут понадобиться дополнительные решения в других интервалах, так как синус и косинус периодичные функции.

Итак, решениями уравнения 2sin^2(x) = cos(x) + 1 в интервале от 0 до 2π (0 до 360 градусов) будут:

1. x1 = arcsin(2/3)
2. x2 = arcsin(-1)