Question

постройте график функции y=x^4+2x^3/x^2+2x+1 и определите при каких значения b прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку

Answer 1

 y=x^4+2x^3/x^2+2x+1 = x^4+2x+2x+1 =  x^4+4x+1

ищем производную

 y'=  (x^4+4x+1)' = 4x^3+4

приравнивая к 0  найдем точку минимума

4x^3+4=0  ==>  4x^3=-4  ==> x^3 = -4/4=-1  ==> x=-1

 

подставляем и находим y(-1) =  (-1)^4+4*(-1)+1=1 - 4 + 1 = -2

 

Answer 2

Для определения значений параметра b, при которых прямая y = b имеет с графиком функции y = x^4 + (2x^3) / (x^2 + 2x + 1) ровно одну общую точку, необходимо решить уравнение, полученное из равенства y = b:

x^4 + (2x^3) / (x^2 + 2x + 1) = b

Сначала упростим выражение в знаменателе дроби:

x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

x^4 + (2x^3) / ((x + 1)^2) = b

Чтобы определить значения b, при которых уравнение имеет ровно одно решение, нам нужно найти производную этой функции и найти её корни. Один корень будет точкой пересечения прямой y = b и графика функции.

Сначала найдем производную функции:

y = x^4 + (2x^3) / ((x + 1)^2)

y' = 4x^3 + (2x^3)' / ((x + 1)^2) + (2x^3) / ((x + 1)^2)'

y' = 4x^3 + (2x^2 * (x + 1)^2 - 2x^3 * 2(x + 1)) / (x + 1)^4

y' = 4x^3 + (2x^2 * (x^2 + 2x + 1) - 4x^3(x + 1)) / (x + 1)^4

y' = 4x^3 + (2x^4 + 4x^3 - 4x^4 - 4x^3) / (x + 1)^4

y' = 4x^3 - 4x^3 / (x + 1)^4

y' = 4x^3 * (1 - 1 / (x + 1)^4)

Далее, нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:

4x^3 * (1 - 1 / (x + 1)^4) = 0

4x^3 = 4x^3 / (x + 1)^4

4x^3(x + 1)^4 = 4x^3

(x + 1)^4 = 1

Теперь найдем значения x:

1. (x + 1)^4 = 1
2. x + 1 = ±1

Для x + 1 = 1 получаем x = 0, а для x + 1 = -1 получаем x = -2.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения b, подставим найденные x в исходное уравнение y = b:

1. Для x = 0:

   y = 0^4 + (2 * 0^3) / ((0 + 1)^2) = 0 + 0 / 1 = 0

2. Для x = -2:

   y = (-2)^4 + (2 * (-2)^3) / ((-2 + 1)^2) = 16 - 16 / 1 = 0

Таким образом, значения параметра b, при которых прямая y = b имеет с графиком функции y = x^4 + (2x^3) / (x^2 + 2x + 1) ровно одну общую точку, равны b = 0.