Question

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. На ребре SC взята точка M, так что SM : SC = 1:3 Докажите что плоскость ADM делит высоту пополам

Answer 1

Ответ:

Для доказательства того, что плоскость ADM делит высоту пополам, нужно показать, что отрезок HM (где H - основание высоты из вершины D) равен отрезку DM.

Поскольку SM:SC = 1:3, можно представить SM как 1/4 SC и CM как 3/4 SC. Таким образом, отрезок SM составляет 1/4 отрезка SC, а отрезок CM составляет 3/4 отрезка SC.

Так как SM и CM являются пропорциональными отрезками, они также являются пропорциональными сегментами высоты HD. То есть, если HM - это x, то DM - это 3x.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. В этом треугольнике высота HD разделяет сторону AM на две части: HM и DM. Мы только что выяснили, что HM равно x, а DM равно 3x.

Таким образом, плоскость ADM делит высоту HD пополам, поскольку HM равно DM.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Обозначим точку D как вершину пирамиды, S как вершину основания ABCD, A как вершину пирамиды, а B и C как вершины основания ABCD.

Из условия известно, что отношение SM к SC равно 1:3, что можно записать как:

SM / SC = 1 / 3

Теперь рассмотрим треугольник SMD. У него общая сторона SM с треугольником SCA (SCA и SMD - два треугольника, имеющие общую сторону SM). Так как SM / SC = 1 / 3, то отношение длины SM к длине SC равно 1 / 3. Это означает, что треугольники SMD и SCA подобны.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ADM и ACA. У них есть общая сторона AD и общая сторона AC. Также мы уже знаем, что треугольники SMD и SCA подобны. Таким образом, по теореме о подобных треугольниках, треугольники ADM и ACA также будут подобными.

Если два треугольника подобны, то отношение длины их высот, проведенных к одной и той же основе, будет одинаковым. Таким образом, высота AD треугольника ADM относится к высоте AC треугольника ACA так же, как сторона AD относится к стороне AC:

h(ADM) / h(ACA) = AD / AC

Теперь вспомним, что треугольники ADM и ACA подобны, а значит, это отношение длин высот также равно отношению длин их оснований:

h(ADM) / h(ACA) = AD / AC = 1

Из этого следует, что h(ADM) = h(ACA), то есть высота ADM делит высоту ACA пополам. Так как ACA - это высота пирамиды SABCD, то это означает, что плоскость ADM действительно делит высоту пирамиды пополам.