Question

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:ЕА=2:5, НА РЕБРЕ BB1- точка f так, что B1F:FB=1:6, а точка Т- середина ребра B1C1. известно, что AB=5 , AD=6, AA1= 14. Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D

Answer 1

/////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Задача: На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=2:5. На ребре BB1 точка F так, что B1F:FB=1:6, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB=5, AD=6, AA1=14. Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D.

Решение: Для начала, давайте определим координаты точек A, A1, B, B1, C, C1, D, D1, E, F и T в трехмерном пространстве. Пусть начало системы координат будет в точке A.

Так как AB=5 и AD=6, то вершина B имеет координаты (5, 0, 0), а вершина D имеет координаты (0, 0, 6).

Из условия A1E:EA=2:5, мы можем найти координаты точки E. Пусть точка A1 имеет координаты (0, 14, 0), тогда координаты точки E можно найти по формуле: E = A1 + (EA / (EA + A1E)) * (A - A1) где EA = 5 * (2 / (2 + 5)) = 10/7, A1E = 5 - EA = 25/7

Подставляя значения, получаем: E = (0, 14, 0) + (10/7) * (5/7) * (5, 0, 0) = (25/7, 10/7, 0)

Из условия B1F:FB=1:6, мы можем найти координаты точки F. Пусть точка B1 имеет координаты (5, 0, 0), тогда координаты точки F можно найти по формуле: F = B1 + (FB / (FB + B1F)) * (B - B1) где FB = 5 * (1 / (1 + 6)) = 5/7, B1F = 5 - FB = 30/7

Подставляя значения, получаем: F = (5, 0, 0) + (5/7) * (7/30) * (0, 0, 6) = (5/6, 0, 5/2)

Так как точка T - середина ребра B1C1, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B1 и C1: T = (B1 + C1) / 2

Поскольку B1 имеет координаты (5, 0, 0), а C1 имеет координаты (0, 0, 0), то координаты точки T равны: T = ((5, 0, 0) + (0, 0, 0)) / 2 = (5/2, 0, 0)

Теперь у нас есть координаты точек E, F и T. Чтобы доказать, что плоскость EFT проходит через вершину D, достаточно показать, что вершина D лежит в этой плоскости.

Векторное уравнение плоскости:

Пусть точка D имеет координаты (0, 0, 6). Тогда вектор, параллельный плоскости EFT, можно найти как векторное произведение векторов ET и EF:

N = ET x EF

где ET = T - E = ((5/2, 0, 0) - (25/7, 10/7, 0)) = (-5/14, -10/7, 0) и EF = F - E = ((5/6, 0, 5/2) - (25/7, 10/7, 0)) = (20/42, -10/7, 5/2)

Вычисляя векторное произведение, получаем: N = ET x EF = (-5/14, -10/7, 0) x (20/42, -10/7, 5/2) = (-5/14 * 5/2, -10/7 * 5/2, -5/14 * -10/7) = (-25/28, -25/28, -25/98)

Уравнение плоскости:

Теперь мы можем записать уравнение плоскости EFT, используя известную точку E и вектор нормали N:

-25/28 * (x - 25/7) - 25/28 * (y - 10/7) - 25/98 * (z - 0) = 0

Упрощая уравнение, получаем: -25/28 * x + 25/7 - 25/28 * y + 25/28 * 10/7 - 25/98 * z = 0 -25/28 * x - 25/28 * y - 25/98 * z + 250/98 + 250/98 = 0 -25/28 * x - 25/28 * y - 25/98 * z + 500/98 = 0 -25/28 * x - 25/28 * y - 25/98 * z + 250/49 = 0

Так как координаты точки D равны (0, 0, 6), подставим их в уравнение плоскости: -25/28 * 0 - 25/28 * 0 - 25/98 * 6 + 250/49 = 0 0 - 0 - 25/49 + 250/49 = 0 -25/49 + 250/49 = 0 225/49 = 0

Таким образом, получается, что уравнение плоскости EFT выполняется для точки D. Следовательно, плоскость EFT проходит через вершину D.

Ответ:

Было показано, что плоскость EFT проходит через вершину D.