Question

Клеточки доски m*n раскрашены в шахматном порядке в черный и белый цвета. Разрешается выбрать любые соседние по стороне клетки и перекрасить их: белые клетки в черный цвет, а черные – в красный, а красные – в белый. При каких m и n можно добиться того, что все белые ячейки будут окрашены в черный цвет, а черные в белый?

Answer 1

Відповідь:

Для того чтобы все белые клетки стали черными, а черные клетки - белыми, необходимо выполнить следующее условие: количество черных клеток и количество белых клеток должно быть четным числом.

Обоснуем это правило:

При перекрашивании двух соседних клеток, их цвет меняется на противоположный. Таким образом, каждая операция перекрашивания меняет четность количества черных и белых клеток.

Поскольку доска раскрашена в шахматном порядке, количество черных и белых клеток изначально различается. Если количество черных и белых клеток различается на нечетное число, то невозможно сделать обе группы клеток четными одновременно. Таким образом, не будет возможности перекрасить все белые клетки в черный цвет, а черные в белый.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если и m и n - четные числа:

  В этом случае на доске m * n будет равное количество черных и белых клеток. Изначально количество черных и белых клеток одинаково и четно, а поскольку мы можем менять цвета клеток, это не изменится. Поэтому, в этом случае, мы можем добиться желаемого результата.

2. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное:

  В этом случае, количество черных и белых клеток на доске не будет равным, поскольку допустим только один вариант непарного числа: (нечетное число + четное число = нечетное число). Следовательно, в этом случае, мы не сможем добиться желаемого результата.

Итак, мы можем добиться того, что все белые клетки станут черными, а черные - белыми, только если оба m и n являются четными числами.

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях m и n можно добиться того, чтобы все белые клетки стали черными, а черные клетки стали белыми, давайте рассмотрим следующие свойства:

1. Если m и n оба четные, то после каждого хода перекраски количество черных и белых клеток всегда останется четным. Таким образом, невозможно перекрасить все белые клетки в черные и наоборот.

2. Если m и n оба нечетные, то в начальной раскраске также будет равное количество черных и белых клеток, и изменить это равенство невозможно, так как каждое действие меняет цвет двух клеток одного цвета на цвет другого.

3. Теперь рассмотрим случаи, когда один из параметров m или n четный, а другой нечетный.

   • Если m четное и n нечетное, то изначально количество черных и белых клеток не будет равным. Это связано с тем, что при нечетном n на каждой строке будет нечетное количество клеток, и сумма таких строк также будет нечетной. Таким образом, вне зависимости от количества ходов, невозможно добиться равенства черных и белых клеток.

   • Если n четное и m нечетное, то изначально количество черных и белых клеток также не будет равным. В данном случае, каждая строка будет иметь четное количество клеток, но общее количество строк (m) нечетное. Это также означает, что равенство черных и белых клеток невозможно.

Итак, равенство черных и белых клеток возможно только в случаях, когда оба параметра m и n четные. Если m и n оба нечетные или один из них четный, а другой нечетный, то добиться желаемой раскраски невозможно.