Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C произведены высота CH и медиана CM. Круг, вписанный в треугольник MCH, касается сторон CM и CH в точках E и F. Прямая EF пересекает катеты треугольника ABC в точках P и Q. Докажите, что треугольник PCQ — равнобедренный.

Answer 1

Ответ:

треугольник PCQ — равнобедренный

Пошаговое объяснение:

1. $\Delta AHC$  - прямоугольный треугольник

$\angle AHC=90^o\\\angle HCA=90^o-\alpha$

2. $\Delta MBC$  - равнобедренный треугольник

$MB=CM\\\angle MBC=\angle BCM=90^o-\alpha$

3. $\Delta FOC,\ \Delta OEC$

$OC=OC\\OF=OE=r$

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного

треугольника, то такие треугольники равны.

$FC=EC$

4. $\Delta FEC$  - равнобедренный треугольник

$\angle FEC=\angle CFE$

так что

$\angle QFC=\angle CEP$

5. $\Delta QFC, \ \Delta EPC$

$\angle QCF=\angle PCE=90^o-\alpha\\FC=EC\\\angle QFC=\angle CEP$

таким образом треугольник QFC равен треугольнику EPC

$CQ=PC$

PCQ  - равнобедренный треугольник

Answer 2

Для начала давайте вспомним некоторые свойства треугольников, которые могут быть полезны для решения этой задачи.

1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, является ее срединным отрезком. Таким образом, $CH$ — это срединный отрезок $AB$.

2. Медиана треугольника делит ее на два равновеликих треугольника.

3. Круг, вписанный в треугольник, касается каждой из сторон треугольника в точках касания. Таким образом, $E$ — середина стороны $CH$, а $F$ — середина стороны $CM$.

4. Если линия делит стороны треугольника пропорционально их длинам, то эта линия параллельна третьей стороне.

Теперь давайте воспользуемся этими свойствами для доказательства.

Так как $E$ и $F$ — середины сторон $CH$ и $CM$ соответственно, то они делят их пополам. Так как $CH$ — это срединный отрезок $AB$, то $E$ также является серединой $AB$. Аналогично, так как $F$ — середина $CM$, то $F$ также является серединой $BC$.

Таким образом, мы видим, что линия $EF$ проходит через середины всех сторон треугольника $ABC$. Следовательно, она параллельна гипотенузе $AB$ треугольника $ABC$ и делит катеты $CA$ и $CB$ пропорционально их длинам.

Поскольку $EF$ параллельна $AB$, то треугольники $PQC$ и $ABC$ подобны. А так как $CP$ и $CQ$ соответственно являются высотами в этих треугольниках, то они будут соответственно равны. Таким образом, треугольник $PCQ$ будет равнобедренным.