Question

Интеграл sin(x/2)cos(x/2)dx = ? Срочно народ, вообще не вывожу.

Answer 1

Cos^3 x *sin 2x=2cos^3 x*cos x*sin x=2cos^4 x *sin xIntegral 2cos^4 x *sin x dx== 2 integral sin(x) cos^4(x) dxt = cos(x) , dt = -sin(x) dx:= -2 integral t^4 dt= -(2 t^5)/5+Ct = cos(x):= -2/5 cos^5(x)+C

Answer 2

Интеграл \int \sin\left(\frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx) можно решить с помощью метода замены переменных. Для этого предлагаю воспользоваться следующей заменой:

Пусть u = \sin\left(\frac{x}{2}), тогда du = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}dx).

Теперь выразим dx через du:

dx = 2du/\cos\left(\frac{x}{2}).

Теперь подставим эту замену в наш интеграл:

\int \sin\left(\frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx = \int u \cdot 2\frac{du}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}).

Теперь можем упростить выражение:

$2\int \frac{u}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}du$.

Теперь используем тригонометрическую тождественность $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$:

$2\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du$.

Теперь интегрируем по $u$:

$2\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du = 2\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du$.

Теперь интегрируем это выражение. Интеграл $\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du$ можно решить с помощью частей (метод интегрирования по частям). Пусть:

$dv = \sec\left(\frac{x}{2}\right)du$, и $u = u$.

Тогда:

$du = du$, и $v = \int \sec\left(\frac{x}{2}\right)du$.

Используя формулу для интеграла секанса:

$v = 2\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)|$.

Теперь применяем метод интегрирования по частям:

$\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du = uv - \int vdu$.

$\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du = u\cdot2\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)| - 2\int\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)|du$.

Итак, мы сократили коэффициент 2:

$2\int u\sec\left(\frac{x}{2}\right)du = u\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)| - \int\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)|du$.

Теперь мы можем интегрировать последний интеграл. Решение этого интеграла будет более сложным и включать в себя полилогарифмические функции.

Итак, интеграл \int \sin\left(\frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx) можно выразить следующим образом:

\int \sin\left(\frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)dx = \sin\left(\frac{x}{2})\ln|\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)| - \text{PolyLog}(2, \cos\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4}\right)) + C),

где $\text{PolyLog}(n, z)$ - полилогарифмическая функция степени n, а C - константа интегрирования.