Question

Стороны параллелограмма равны 10 см. и 3 см. .Биссектрисы двух углов ,прилежащих к большей стороне параллелограмма делят противоположную сторону на 3 отрезка .Найдите длины этих отрезков.

Answer 1

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 
АВCD - параллелограмм
АВ=CD= 3 cм
ВС=АD=10 cм
ВК - биссектриса, сл-но уг.АВК=уг.СВК. 
Углы АВК=АКВ - как накрест лежащие при параллельных и секущей. 
Следовательно уг.АВК=уг.АКВ  и треугольник АВК - равнобедренный, боковые стороны АВ=АК=3 см
Аналогичные рассуждения с биссектрисой СМ.
АК=3 см, DМ=3 см. КD=10-(3+3)=4cм
Ответ: Длины отрезков  3 см, 4 см, 3 см

Answer 2

Пусть $ABCD$ - параллелограмм, где $AB = 10 \, \text{см}$ и $AD = 3 \, \text{см}$. Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения биссектрис углов $DAB$ и $ABC$ со стороной $BC$ соответственно.

Так как биссектрисы делят противоположную сторону на 3 отрезка, давайте обозначим эти отрезки следующим образом:

Пусть $BM = 3x$ и $CN = 3y$. Тогда $MC = 3(1 - y)$ и $NC = 3(1 - x)$.

Теперь рассмотрим треугольник $DAB$. По теореме биссектрисы в треугольнике:

$\frac{DM}{BM} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{10}.$

Подставим $BM = 3x$ и решим относительно $DM$:

$DM = \frac{3x}{10}.$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. По теореме биссектрисы в этом треугольнике:

$\frac{AN}{CN} = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{3}.$

Подставим $CN = 3y$ и решим относительно $AN$:

$AN = \frac{10(3y)}{3} = 10y.$

Таким образом, у нас есть две выражения для $DM$ и $AN$. Теперь мы можем приравнять их:

$\frac{3x}{10} = 10y.$

Также, мы знаем, что $MC + NC = BC$. Подставляем значения $MC = 3(1 - y)$ и $NC = 3(1 - x)$:

$3(1 - y) + 3(1 - x) = 10.$

Разрешим эту систему уравнений. Сначала решим уравнение $\frac{3x}{10} = 10y$, чтобы выразить $x$ через $y$:

$x = \frac{10y}{3}.$

Подставляем это значение в уравнение для $MC + NC$:

$3(1 - y) + 3\left(1 - \frac{10y}{3}\right) = 10.$

Раскрываем скобки:

$3 - 3y + 3 - 10y = 10.$

Сгруппируем переменные:

$-13y = 4.$

Решаем относительно $y$:

$y = -\frac{4}{13}.$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{10y}{3} = -\frac{40}{39}.$

Таким образом, отрезки $BM$, $MC$, и $CN$ равны $-\frac{120}{39}$ см, $\frac{117}{39}$ см и $\frac{39}{13}$ см соответственно.