Question

Сумма различных корней уравнения sin9x sin7x =sin5x sin 11x из интервала (-п;3п\4)

Answer 1

Sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
1/2(cos2x-cos16x)=1/2(cos6x-cos16x)
cos2x-cos16x=cos6x-cos16x
cos2x-cos6x=0
cosa-cosb=-2sin(a-b)/2sin(a+b)/2
2sin2xsin4x=0
sin2x=0⇒2x=πn⇒x=πn/2
sin4x=0⇒4x=πn⇒x=πn/4-общее
-π<πn/4<3π/4
-4<n<3
n=-3⇒x=-3π/4
n=-2⇒x=-2π/4
n=-1⇒x=-π/4
n=0⇒x=0
n=1⇒x=π/4
n=2⇒x=2π/4
-3π/4-2π/4-π/4+0+π/4+2π/4=-3π/4

Answer 2

Давайте попробуем найти сумму различных корней уравнения $\sin(9x) \sin(7x) = \sin(5x) \sin(11x)$ на интервале $(- \pi; \frac{3\pi}{4})$.

1. Сначала перепишем уравнение: $\sin(9x) \sin(7x) - \sin(5x) \sin(11x) = 0$

2. Воспользуемся формулой для произведения синусов: $\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$

3. Применим эту формулу к обоим частям уравнения: $\frac{1}{2}[\cos(9x - 7x) - \cos(9x + 7x)] - \frac{1}{2}[\cos(5x - 11x) - \cos(5x + 11x)] = 0$

4. Упростим уравнение: $\frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(16x)] - \frac{1}{2}[\cos(-6x) - \cos(16x)] = 0$

5. Теперь объединим подобные члены: $\frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(-6x)] = 0$

6. Учтем, что $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$: $\frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(6x)] = 0$

7. Теперь решим это уравнение: $\cos(2x) - \cos(6x) = 0$

8. Раскроем разницу косинусов: $\cos(2x) - (\cos(6x) - \cos(2x)) = 0$

9. Упростим: $2\cos(2x) - \cos(6x) = 0$

10. Теперь факторизуем: $\cos(2x) (2 - \cos(4x)) = 0$

11. Найдем корни:

• Корень $\cos(2x) = 0$ соответствует $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.
• Корень $2 - \cos(4x) = 0$ соответствует $\cos(4x) = 2$, но так как косинус не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

12. Теперь найдем корни для $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

13. Ограничимся интервалом $(- \pi; \frac{3\pi}{4})$, поэтому $n$ должно быть таким, что $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Решая это неравенство: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{4}$ $\frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{2}$ $n < 1$

Таким образом, корни уравнения $\sin(9x) \sin(7x) = \sin(5x) \sin(11x)$ на интервале $(- \pi; \frac{3\pi}{4})$ 0 0