Question

Найдите уравнение касательной к кривой у=16/х² проведенной в точке пересечения ее с прямой у = 2х.

Answer 1

Ответ:  y=-4x+12.

Пошаговое объяснение:

у=16/х²;   у = 2х.

Найдем точку A пересечения графиков

16/x^2 = 2x;

16=2x^3;

x^3=8;

x=2.

y=2x = 2*2 = 4.

A(2;4).

*********************

y=f(x0) + f'(x0)(x-x0).

f(2) = 16/(2^2) = 16/4 = 4.

f'(x) = (16/x^2)' = -32/x^3;

f'(2)=-32/(2^3) = -32/8 =-4.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0=2 имеет вид  y=f(x0) + f'(x0)(x-x0). Подставляем x0=2 =>

y=4+(-4(x-2)) = 4-4x+8 = 12-4x.

y=-4x+12.

(См. скриншот).

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = 16/x^2 в точке её пересечения с прямой y = 2x, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точку пересечения двух графиков, решив уравнение y = 16/x^2 и y = 2x:

16/x^2 = 2x

Умножим обе стороны на x^2, чтобы избавиться от дроби:

16 = 2x^3

Теперь разделим обе стороны на 2:

8 = x^3

2. Найдите значение x, взяв кубический корень обеих сторон:

x = ∛8

x = 2

Теперь мы знаем, что точка пересечения имеет координаты (2, 4), так как y = 2x.

3. Чтобы найти наклон (или производную) кривой y = 16/x^2 в точке (2, 4), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования. Производная этой функции равна:

y' = d/dx (16/x^2) = -32/x^3

Теперь, подставив x = 2, мы получим значение наклона в точке (2, 4):

y'(2) = -32/2^3 = -4

4. Теперь, используя формулу для уравнения касательной, можно найти уравнение касательной линии в точке (2, 4):

y - y1 = m(x - x1)

где (x1, y1) - точка пересечения, m - наклон. Подставляем известные значения:

y - 4 = -4(x - 2)

Упростим уравнение:

y - 4 = -4x + 8

Теперь добавим 4 к обеим сторонам:

y = -4x + 12

Итак, уравнение касательной к кривой y = 16/x^2, проведенной в точке пересечения с прямой y = 2x, равно y = -4x + 12.