Question

Решите пожалуйста показательные уравнение. А) 5^x-5^3-x=20 Б) (3.5)^x-5=(4/49)^2 В) Несколько корень уравнения 3^x+1*27^x-1=9^7 Г) 9^x+y +y= 729 здесь степень x+y 3^x-y-1=1 здесь x-y-1 |___________| это система заранее спасибо)

Answer 1

5ˣ-5³⁻ˣ=20
5ˣ-5³*5⁻ˣ=20
5ˣ-(5³/5ˣ)=20
Приводим к общему знаменателю
5²ˣ-5³=20*5ˣ
5²ˣ-20*5ˣ-125=0
Вводим замену переменной
5ˣ=t
t²-20t-125=0
D=(-20)²-4*(-125)=400+500=900
t=(20-30)/2=-5 -  не может быть корнем так как 5ˣ всегда >0.
t=(20+30)2=25
Обратная замена
5ˣ=25
x=2

3,5ˣ⁻⁵=(4/49)²
3,5ˣ/3,5⁵=(2/7)⁴
3,5ˣ=(2⁴*3,5⁵)/(2*3,5)⁴
3,5ˣ=(2⁴*3,5⁵)/(2⁴*3,5⁴)
3,5ˣ=3,5
x=1

3ˣ⁺¹*27ˣ⁻¹=9⁷
3ˣ*3*3³⁽ˣ⁻¹⁾=(3²)⁷
3ˣ*3³ˣ*3¹*3⁻³=3¹⁴
3⁴ˣ*3⁻²=3¹⁴
3⁴ˣ=3¹⁴*3²
3⁴ˣ=3¹⁶
4x=16
x=16:4=4

$\left \{ {{9^{x-y}+y=729} \atop {3^{x-y-1}=1}} \right.$
Рассмотрим второе уравнение системы
$3^{x-y-1}=1$ - его можно переписать как
$\frac{3^{x-y}}{3}=1$
$3^{x-y}=3$
Теперь переходим к первому уравнению, его можно переписать как
$3^{2(x-y)}+y=9^3$
или
$(3^{x-y})^2+y=3^6$
Из второго уравнения подставляем значение $3^{x-y}=3$
3²+y=3⁶
y=3⁶-3²=720
Подставляем найденное значение y во второе уравнение и находим х:
$3^{x-720-1}=1$
$3^{x-719}=3^0$
x-719=0
x=719

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности:

А) 5^x - 5^(3 - x) = 20

Для решения этого уравнения можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = 5^x. Тогда уравнение примет вид:

t - 5^(3 - x) = 20

Теперь заметим, что 5^(3 - x) = 5^3 / 5^x = 125 / t. Мы можем заменить это в уравнении:

t - 125 / t = 20

Умножим обе стороны на t, чтобы избавиться от дроби:

t^2 - 125 = 20t

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

t^2 - 20t - 125 = 0

Теперь это уравнение квадратное. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или факторизации:

(t - 25)(t + 5) = 0

Таким образом, получаем два значения t:

t1 = 25 t2 = -5

Теперь вернемся к нашей замене переменной:

1. 5^x = 25 5^x = 5^2

Следовательно, x = 2.

2. 5^x = -5

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как 5^x всегда положительно, и не может быть равно -5.

Итак, уравнение А имеет одно решение x = 2.

Б) (3.5)^x - 5 = (4/49)^2

Для решения этого уравнения можно сначала возвести 4/49 в квадрат:

(3.5)^x - 5 = (16/2401)

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю:

(3.5)^x - 5 = (16/2401)

(3.5)^x - 5 = (16/7^4)

Теперь используем тот факт, что 7^4 = (7^2)^2 = 49^2:

(3.5)^x - 5 = (16/49^2)

(3.5)^x - 5 = (4/49)^2

Теперь у нас есть:

(3.5)^x - 5 = (4/49)^2

Теперь добавим 5 к обеим сторонам:

(3.5)^x = (4/49)^2 + 5

(3.5)^x = (16/2401) + 5

(3.5)^x = (16 + 12005) / 2401

(3.5)^x = 12021 / 2401

(3.5)^x = 5

Теперь возведем обе стороны в логарифм с основанием 3.5:

x = log_3.5(5)

x ≈ 1.293

Итак, уравнение Б имеет приближенное решение x ≈ 1.293.

В) Несколько корней уравнения 3^x + 27^(x-1) = 9^7

Сначала преобразуем уравнение:

3^x + 3^(3(x-1)) = 3^(2*7)

Теперь мы можем сравнить степени и прийти к следующему уравнению:

x + 3(x-1) = 2*7

x + 3x - 3 = 14

4x - 3 = 14

4x = 14 + 3

4x = 17

x = 17/4

Итак, уравнение В имеет одно решение: x = 17/4.

Г) 9^x + y + y = 729 и 3^x - y - 1

Это система уравнений. Давайте начнем с первого уравнения:

9^x + y + y = 729

9^x + 2y = 729

Теперь второе уравнение:

3^x - y - 1 = 1

3^x - y = 2

Теперь у нас есть система:

9^x + 2y = 729 3^x - y = 2

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Выразим y из второго уравнения:

y = 3^x - 2

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

9^x + 2(3^x - 2) = 729

Решим это уравнение для x:

9^x + 6^x - 4 = 729

9^x + 6^x = 733

Теперь мы не можем решить это уравнение аналитически, но можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона, чтобы найти численное приближенное решение.

Итак, уравнение Г имеет численное решение для x, которое можно найти с помощью численных методов.