Question

Y=11+9x-3x³-x³ 1. Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.2. Определить промежутки выпуклости и вогнутости (+ вычислить значения функции в точках перегиба: y(2)=2³-6*2²+9*2-3=-1; y(2)=-1).Есть пример по которому следует решить, если нужен, покажу.

Answer 1

У=-9×-3×,×€R если тебе помогла буду рада

Answer 2

Для анализа функции Y = 11 + 9x - 3x³ - x³, начнем с поиска производных и исследования их знаков.

1. Определение промежутков монотонности и экстремумов:

Сначала найдем производную функции Y по x: Y'(x) = 9 - 6x².

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: 9 - 6x² = 0

6x² = 9 x² = 9/6 x² = 3/2 x = ±√(3/2)

Теперь определим знак производной в интервалах между критическими точками и за пределами:

1. Возьмем любое значение x < -√(3/2). Подставим, например, x = -2: Y'(-2) = 9 - 6(-2)² = 9 - 6(4) = 9 - 24 = -15 Производная отрицательна.

2. Теперь возьмем значение -√(3/2) < x < √(3/2). Подставим, например, x = 0: Y'(0) = 9 - 6(0)² = 9 Производная положительна.

3. Наконец, возьмем любое значение x > √(3/2). Подставим, например, x = 2: Y'(2) = 9 - 6(2)² = 9 - 6(4) = 9 - 24 = -15 Производная отрицательна.

Таким образом, функция Y убывает на интервалах (-∞, -√(3/2)) и (√(3/2), +∞) и возрастает на интервале (-√(3/2), √(3/2)).

Теперь найдем точки экстремума. Экстремумы возникают в точках, где производная меняет знак. Из нашего анализа видно, что производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 0 и с положительного на отрицательный в точке x = ±√(3/2). Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 0 (минимум) и x = ±√(3/2) (максимумы).

2. Определение промежутков выпуклости и вогнутости, а также вычисление значений функции в точках перегиба:

Сначала найдем вторую производную функции Y:

Y''(x) = -12x.

Теперь найдем точки перегиба, где вторая производная равна нулю:

-12x = 0 x = 0

Теперь определим знак второй производной в интервалах между точками перегиба и за пределами:

1. Возьмем любое значение x < 0. Подставим, например, x = -1: Y''(-1) = -12(-1) = 12 Вторая производная положительна, следовательно, функция выпукла в этом интервале.

2. Теперь возьмем любое значение 0 < x. Подставим, например, x = 1: Y''(1) = -12(1) = -12 Вторая производная отрицательна, следовательно, функция вогнута в этом интервале.

Таким образом, функция Y выпукла на интервале (-∞, 0) и вогнута на интервале (0, +∞). Значение второй производной равно 0 в точке перегиба x = 0.

Теперь вычислим значения функции в точках перегиба:

1. Y(0) = 11 + 9(0) - 3(0)³ - 0³ = 11

Теперь вычислим значения функции в точках экстремума:

2. Y(±√(3/2)) = 11 + 9(±√(3/2)) - 3(±√(3/2))³ - (±√(3/2))³

Таким образом, вы получите значения функции в точках перегиба и экстремума:

1. Y(0) = 11
2. Y(√(3/2)) = 11 + 9√(3/2) - 3(√(3/2))³ - (√(3/2))³
3. Y(-√(3/2)) = 11 - 9√(3/2) - 3(-√(3/2))³ - (-√(3/2))³

Вычислите эти значения, и вы получите точки, в которых функция достигает перегибов и экстремумов, а также их значения.