Question

Деталь устройства может быть изготовлена из материала одного из трех типов A1, A2, A3 с вероятностями: Р(A1)=0,6 , Р(A2)=0,3, P(A3)=0,1. Надежности уст­ройства (вероятности безотказной работы в течение времени T ) в зависимости от типа используемого материала равны соответст­венно 0,6; 0,8; и 0,9. Известно, что устройство вышло из строя, не проработав время T. Чему равны вероятности того, что деталь была изготовлена из материала типа A1, A2, A3

Answer 1

Расчет сведен в таблицу в приложении.
Расчет выполнен в общем виде для проверки формул - расчет вероятности безотказной работы и отказа в работе.
Событие состоит из двух - выбор случайной детали со случайным отказом.
Часть первая - расчет вероятности отказа по формуле полной вероятности.
Вероятность выбора случайного материала - дана - р1(i) - доля в партии деталей.
р1(1)=0,6 и р2(2)=0,3 и р1(3)=0,1.
Проверяем  - сумма равна 1 - все учтены - правильно.
Вероятность безотказной работы - дана - р2(i)
p2(1)=0.6 и р2(2)=0,8 и р2(3)=0,9
Вероятность отказа по формуле: q2(i) = 1 - p2(i)
q2(1)=1-0.6=0.4  и q2(2)=0.2  и q2(3)=0.1
Вероятность выбора случайного и материала и брака  - сумма произведений вероятностей.
Вероятность работы - Sp= sum(p1(i)*p2(i) = 0,6*0,6+0,3*0,8+0,1*0,9 =
0.36+0.24+0.09 = 0.69 = 69%.
Вероятность отказа - Sq= sum(q1(i)*q2(i) = 0,6*0,4+0,3*0,2+0,1*0,1=
0.24+0.06+0.01 = 0.31 = 31%
Проверяем сумму - Sp+Sq = 0.69+0.31 = 1 - правильно.
ОТВЕТ: Вероятность отказа - 0,31 = 31%.
Часть вторая - отказа какого материала по формуле Байеса.
Находим долю отказа каждого материала в бракованном изделии.
0,24/0,31 = 0,774 = 77,4% - для 1-го материала.
0,24/0,31 = 0,194 = 19,4% - для 2-го материала
0,01/0,31 =0,032 = 3,2 % - для 3-го материала.
ОТВЕТ: Наибольшая вероятность отказа у 1-го материала - 77,4%

Answer 2

Для нахождения вероятностей того, что деталь была изготовлена из материала типа A1, A2 и A3, при условии, что устройство вышло из строя, не проработав время T, мы можем воспользоваться теоремой Байеса. Формула для вычисления вероятности по теореме Байеса выглядит следующим образом:

P(Ai | B) = P(B | Ai) * P(Ai) / P(B),

где P(Ai | B) - вероятность того, что деталь была изготовлена из материала типа Ai при условии, что устройство вышло из строя (событие B).

P(Ai) - вероятность использования материала типа Ai, уже известная нам. P(B | Ai) - вероятность того, что устройство выйдет из строя, если деталь изготовлена из материала типа Ai. Эта вероятность равна 1 минус надежность устройства при использовании материала Ai.

Теперь найдем P(B | Ai) для каждого типа материала:

• Для материала A1: P(B | A1) = 1 - 0,6 = 0,4.
• Для материала A2: P(B | A2) = 1 - 0,8 = 0,2.
• Для материала A3: P(B | A3) = 1 - 0,9 = 0,1.

Теперь мы можем вычислить P(B), вероятность того, что устройство вышло из строя, независимо от типа материала:

P(B) = Σ (P(B | Ai) * P(Ai)), где сумма берется по всем типам материала.

P(B) = (0,4 * 0,6) + (0,2 * 0,3) + (0,1 * 0,1) = 0,24 + 0,06 + 0,01 = 0,31.

Теперь мы можем вычислить вероятности P(Ai | B) для каждого типа материала:

• Для материала A1: P(A1 | B) = (0,4 * 0,6) / 0,31 ≈ 0,7742 (округлено до 4 знаков после запятой).
• Для материала A2: P(A2 | B) = (0,2 * 0,3) / 0,31 ≈ 0,1935.
• Для материала A3: P(A3 | B) = (0,1 * 0,1) / 0,31 ≈ 0,0323.

Итак, вероятности того, что деталь была изготовлена из материала типа A1, A2 и A3 при условии, что устройство вышло из строя, равны соответственно около 0,7742, 0,1935 и 0,0323.