Question

Найти производную функции y= (3x^2+7x-1/x^3-2^2+4x)^4

Answer 1

y= (3x^2+7x-1/x^3-2^2+4x)^4
y'=4(3x^2+7x-1/x^3-2^2+4x)^3*(6x+7+3x^(-4)+4)=
=4(3x^2+7x-1/x^3-2^2+4x)^3*(6x+11+3/x^4)

Answer 2

Чтобы найти производную функции y по переменной x, используем правило степенной цепочки (chain rule) и правило дифференцирования сложной функции. Сначала разберем функцию на более простые части:

y = (3x^2 + 7x - 1) / (x^3 - 2x^2 + 4x)

Теперь мы можем применить правило степенной цепочки:

y^4 = [(3x^2 + 7x - 1) / (x^3 - 2x^2 + 4x)]^4

Затем используем правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = d/dx [(3x^2 + 7x - 1) / (x^3 - 2x^2 + 4x)]^4

Давайте вычислим производную сложной функции по правилу степенной цепочки. Пусть u(x) = 3x^2 + 7x - 1 и v(x) = x^3 - 2x^2 + 4x:

dy/dx = 4[(u/v)^3] * d(u/v)/dx

Теперь вычислим производные u(x) и v(x):

du/dx = d/dx (3x^2 + 7x - 1) = 6x + 7 dv/dx = d/dx (x^3 - 2x^2 + 4x) = 3x^2 - 4x + 4

Теперь вычислим d(u/v)/dx, используя правило дифференцирования сложной функции:

d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2

Подставим значения:

d(u/v)/dx = [(x^3 - 2x^2 + 4x)(6x + 7) - (3x^2 + 7x - 1)(3x^2 - 4x + 4)] / (x^3 - 2x^2 + 4x)^2

Теперь у нас есть выражение для d(u/v)/dx. Мы можем вернуться к выражению для dy/dx и вычислить его:

dy/dx = 4[(u/v)^3] * [(x^3 - 2x^2 + 4x)(6x + 7) - (3x^2 + 7x - 1)(3x^2 - 4x + 4)] / (x^3 - 2x^2 + 4x)^2

Это производная функции y по переменной x.