Question

Из 60 точек на плоскости 39 лежат на одной прямой, а остальные не лежат на этой прямой. Докажите что точки можно разбить на 20 троек таким образом, что никакие три точки из одной тройки не лежат на одной прямой

Answer 1

Берём по 2 точки на прямой, а третью не на прямой.
Так мы используем 38 точек на прямой и составим 19 треугольников.
Остаётся 3 точки. Одна лежит на прямой, две нет.
Но может так получиться, что эти 3 точки сами окажутся на одной прямой.
Тогда надо в каком-то из предыдущих треугольников заменить точку, лежащую не на прямой, на точку из этих 2 последних, не на прямой.
Тогда новые 3 точки уже не будут лежать на одной прямой.

Answer 2

Давайте рассмотрим следующий метод для разбиения 60 точек на 20 троек так, чтобы никакие три точки из одной тройки не лежали на одной прямой.

1. Начнем с того, что у нас уже есть 39 точек, лежащих на одной прямой. Выберем любую из этих точек и назовем ее "A". Оставшиеся 20 точек, которые не лежат на этой прямой, назовем множеством "B".

2. Далее, выберем еще одну точку из множества "B" и назовем ее "C". Теперь у нас есть точки "A" и "C". Найдем третью точку "D" из множества "B", такую, что она не лежит на прямой, проходящей через "A" и "C". Мы можем найти такую точку, потому что из 20 точек в "B" только 2 уже использованы.

3. Теперь у нас есть тройка точек "A", "C" и "D", и они не лежат на одной прямой, так как точки "A" и "C" не лежат на прямой, проходящей через "D", и точки "A" и "D" не лежат на прямой, проходящей через "C".

4. После этого у нас остается 17 точек в множестве "B". Мы повторим этот процесс, выбирая по три точки из множества "B" каждый раз и добавляя их к нашим тройкам, пока множество "B" не опустеет. Мы сможем сделать это 20 раз, так как в множестве "B" 20 точек.

Таким образом, мы разбили 60 точек на 20 троек, и никакие три точки из одной тройки не лежат на одной прямой.