Question

Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ f(x)=√x³-2x, х₀ = -1

Answer 1

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \\ \\ f'(x)= (\sqrt{x^3-2x})'= \frac{1}{2 \sqrt{x^3-2x} }*(x^3-2x)'= \frac{3x^2-2}{2 \sqrt{x^3-2x} } \\ \\ x_0=-1 \\ \\ f'(x_0)= \frac{3*(-1)^2-2}{2 \sqrt{(-1)^3-2*(-1)} } = \frac{3-2}{2 \sqrt{-1+2} }= \frac{1}{2} \\ \\ f(x_0)= \sqrt{(-1)^3-2*(-1)}= \sqrt{-1+2}=1 \\ \\ y= \frac{1}{2}(x+1)+1= \frac{x+1}{2}+1 = \frac{x+1+2}{2}= \boxed {\frac{x+3}{2}}$

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции f(x) и подставим x₀ = -1, чтобы найти угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной в форме $y = mx + b$ можно получить, используя точку $(x₀, f(x₀))$ и угловой коэффициент $m$.

Итак, начнем с нахождения производной $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^3 - 2x})$

Производная: $f'(x) = \frac{3x^2 - 2}{2\sqrt{x^3 - 2x}}$

Теперь подставим $x₀ = -1$ в $f'(x)$, чтобы найти угловой коэффициент: $m = f'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 2}{2\sqrt{(-1)^3 - 2(-1)}}$

$m = \frac{1}{2}$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $(-1, f(-1))$ равен $\frac{1}{2}$. Теперь мы можем написать уравнение касательной: $y - f(-1) = m(x - (-1))$

Подставим значения: $y - f(-1) = \frac{1}{2}(x + 1)$

Это уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(-1, f(-1))$.