Question

Помогите с дифференциальными уравнениями! 1. 3yy’=4 (-3;-2) 2. y’’+6y’+13y=0 3. y’-4xy=-4x y(0)=-1/2 4. y’’’=sin2x

Answer 1

Решения дифференциальных уравнений на 3-х фотографиях

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти дифференциальные уравнения.

1. Для уравнения 3yy' = 4 с начальным условием (-3, -2), можно начать с разделения переменных:

3yy' = 4

Разделим обе стороны на 3y:

y' = 4 / (3y)

Теперь можно разделить переменные и проинтегрировать:

∫(1/y) dy = ∫(4/3) dx

ln|y| = (4/3)x + C1, где C1 - постоянная интеграции.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^((4/3)x + C1)

Так как y может быть положительным или отрицательным, мы можем записать:

y = ±e^((4/3)x + C1)

Теперь, используя начальное условие (-3, -2), мы можем найти значение C1:

-2 = ±e^((4/3)(-3) + C1)

-2 = ±e^(-4 + C1)

Избавимся от знака ±, так как у нас есть два случая:

1. -2 = e^(-4 + C1)
2. -2 = -e^(-4 + C1)

Решим оба уравнения для C1:

1. e^(-4 + C1) = -2
2. -e^(-4 + C1) = -2

Для первого уравнения:

e^(-4 + C1) = -2

e^(C1 - 4) = -2

C1 - 4 = ln(-2)

C1 = ln(-2) + 4

Для второго уравнения:

-e^(-4 + C1) = -2

e^(-4 + C1) = 2

C1 - 4 = ln(2)

C1 = ln(2) + 4

Таким образом, у нас есть два решения:

1. y = e^((4/3)x + ln(-2) + 4)

2. y = e^((4/3)x + ln(2) + 4)

3. Для уравнения y'' + 6y' + 13y = 0, можно найти общее решение, используя характеристическое уравнение:

r^2 + 6r + 13 = 0

Дискриминант D = 6^2 - 4(1)(13) = 36 - 52 = -16

Поскольку D отрицателен, у нас есть два комплексных корня:

r1 = (-6 + 4i)/2 = -3 + 2i r2 = (-6 - 4i)/2 = -3 - 2i

Общее решение имеет следующий вид:

y(t) = e^(-3t)(C1cos(2t) + C2sin(2t))

3. Для уравнения y' - 4xy = -4x с начальным условием y(0) = -1/2, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Умножим обе стороны на множитель e^(-2x):

e^(-2x)y' - 4xe^(-2x)y = -4xe^(-2x)

Теперь левая сторона - это производная от (e^(-2x)y):

(e^(-2x)y)' = -4xe^(-2x)

Интегрируем обе стороны:

∫(e^(-2x)y)' dx = ∫(-4xe^(-2x)) dx

e^(-2x)y = ∫(-4xe^(-2x)) dx

Теперь интегрируем правую сторону по частям:

e^(-2x)y = 2xe^(-2x) - ∫(2e^(-2x)) dx

e^(-2x)y = 2xe^(-2x) + 2e^(-2x) + C

e^(-2x)y = 2(e^(-2x)(x + 1) + C)

Теперь делим обе стороны на e^(-2x):

y = 2(x + 1) + Ce^(2x)

Используя начальное условие y(0) = -1/2, мы можем найти значение C:

-1/2 = 2(0 + 1) + Ce^(2*0)

-1/2 = 2 + C

C = -1/2 - 2 = -5/2

Итак, окончательное решение:

y = 2(x + 1) - (5/2)e^(2x)

4. Для уравнения y''' = sin(2x), мы можем проинтегрировать это уравнение по частям:

y'' = ∫sin(2x) dx = -(1/2)cos(2x) + C1

Теперь проинтегрируем y'' еще раз:

y' = -(1/2)∫cos(2x) dx + C1x + C2

y' = -(1/4)sin(2x) + C1x + C2

Теперь проинтегрируем y' еще раз:

y = -(1/4)∫sin(2x) dx + (C1/2)x^2 + C2x + C3

y = -(1/8)cos(2x) + (C1/2)x^2 + C2x + C3

Таким образом, общее решение этого уравнения имеет вид:

y(x) = -(1/8)cos(2x) + (C1/2)x^2 + C2x + C3, где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.