Question

Найти общее решение однородных линейных дифференциальных уравнений 1) у''-4у'-21у=02) у''-14у'+49у=0

Answer 1

$1)\; \; y''-4y'-21y=0\\\\k^2-4k-21=0\\\\D/4=4+21=25\; ,\; k_1=2-5=-3\; ,\; k_2=2+5=7\\\\y=C_1\cdot e^{-3x}+C_2\cdor e^{7x}\\\\2)\; \; y''-14y'+49y=0\\\\k^2-14k+49=0\\\\(k-7)^2=0\\\\k_1=k_2=7\\\\y=e^{7x}\cdot (C_1+C_2x)$

Answer 2

Для поиска общего решения однородных линейных дифференциальных уравнений, мы сначала должны найти характеристическое уравнение и его корни. Характеристическое уравнение имеет вид:

1. Для уравнения у'' - 4у' - 21у = 0:

Сначала записываем характеристическое уравнение:

r^2 - 4r - 21 = 0

Далее решим это квадратное уравнение для нахождения его корней r:

(r - 7)(r + 3) = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 7 и r2 = -3.

Общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(7t) + C2 * e^(-3t), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Для уравнения у'' - 14у' + 49у = 0:

Снова записываем характеристическое уравнение:

r^2 - 14r + 49 = 0

Решим это квадратное уравнение для нахождения его корней r:

(r - 7)(r - 7) = 0

Корень характеристического уравнения: r1 = r2 = 7.

Общее решение будет иметь вид:

y(t) = (C1 + C2t) * e^(7t), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это общие решения для данных однородных линейных дифференциальных уравнений.