Question

Найти интеграл: INT sinxcos^2*2xdx

Answer 1

Пределы интегрирования?

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫sin(x)cos^2(2x)dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части интегрируемой функции, которые мы выбираем. Давайте выберем:

u = sin(x) => du = cos(x) dx, dv = cos^2(2x)dx => v = ∫cos^2(2x)dx.

Теперь мы можем вычислить производные и подставить их в формулу интегрирования по частям:

∫sin(x)cos^2(2x)dx = sin(x)∫cos^2(2x)dx - ∫(cos^2(2x)dx)cos(x)dx.

Для первого интеграла находим значение v:

∫cos^2(2x)dx.

Интеграл cos^2(2x)dx можно решить с помощью формулы половинного угла:

cos^2(2x) = (1 + cos(4x))/2.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫cos^2(2x)dx = ∫(1 + cos(4x))/2 dx = (1/2)∫dx + (1/2)∫cos(4x)dx = (1/2)x + (1/2)(1/4)sin(4x) + C = (1/2)x + (1/8)sin(4x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем подставить это значение в первоначальное выражение:

sin(x)∫cos^2(2x)dx - ∫(cos^2(2x)dx)cos(x)dx = sin(x)((1/2)x + (1/8)sin(4x)) - ∫((1/2)x + (1/8)sin(4x))cos(x)dx = (1/2)sin(x)x + (1/8)sin(x)sin(4x) - (1/2)∫xcos(x)dx - (1/8)∫sin(4x)cos(x)dx.

Теперь нам нужно вычислить два оставшихся интеграла:

∫xcos(x)dx и ∫sin(4x)cos(x)dx.

1. ∫xcos(x)dx можно решить методом интегрирования по частям ещё раз. Выбираем:

u = x => du = dx, dv = cos(x)dx => v = ∫cos(x)dx = sin(x).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫xcos(x)dx = xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x) + cos(x) + C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

2. Теперь рассмотрим интеграл ∫sin(4x)cos(x)dx. Для этого интеграла также применим метод интегрирования по частям. Выбираем:

u = sin(4x) => du = 4cos(4x)dx, dv = cos(x)dx => v = sin(x).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫sin(4x)cos(x)dx = sin(4x)sin(x) - ∫4cos(4x)sin(x)dx = 4sin(4x)sin(x) - 4∫sin(4x)sin(x)dx.

Теперь нам нужно решить интеграл ∫sin(4x)sin(x)dx. Для этого можно воспользоваться формулой произведения синусов:

sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)].

Здесь A = 4x, B = x, поэтому:

sin(4x)sin(x) = (1/2)[cos(4x-x) - cos(4x+x)] = (1/2)[cos(3x) - cos(5x)].

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫sin(4x)sin(x)dx = (1/2)∫[cos(3x) - cos(5x)]dx = (1/2)[(1/3)sin(3x) - (1/5)sin(5x)] + C2,

где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и подставить найденные значения:

(1/2)sin(x)x + (1/8)sin(x)sin(4x) - (1/2)x*sin(x) - (1/8)[(1/3)sin(3x) - (1/5)sin(5x)] + C = (1/8)sin(x)sin(4x) - (1/8)[(1/3)sin(3x) - (1/5)sin(5x)] + C = (1/8)sin(x)sin(4x) - (1/24)sin(3x) + (1/40)sin(5x) + C.

Итак, интеграл ∫sin(x)cos^2(2x)dx равен:

(1/8)sin(x)sin(4x) - (1/24)sin(3x) + (1/40)sin(5x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.