Question

Как решить уровнение y"- 5y' +6y =(18x+21)e^3x

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y''-5y'+6y=0$
Пусть  $y=e^{kx}$ , тогда получим характеристическое уравнение:
$k^2-5k+6=0\\k_1=2;~~~k_2=3$

Общее решение однородного уравнения:  $\overline{y}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$

Рассмотрим функцию  $f(x)=(18x+31)e^{3x}$, где  $P_n(x)=18x+31~~\Rightarrow~~~ n=1$ и  $\alpha =3$

Сравнивая  $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания, что n=1 частное решение будем искать в виде:
$\widetilde{y}=xe^{3x}(Ax+B)=Ax^2e^{3x}+Bxe^{3x}\\ \\ y'=2Axe^{3x}+3Ax^2e^{3x}+Be^{3x}+3Bxe^{3x}\\ \\ y''=2Ae^{3x}+6Axe^{3x}+6Axe^{3x}+9Ax^2e^{3x}+3Be^{3x}+3Be^{3x}+9Bxe^{3x}$

Подставив в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при степени х, получим система уравнений

$\displaystyle \left \{ {{2A=18} \atop {2A+B=31}} \right. ~~~\Rightarrow~~ \left \{ {{A=9} \atop {B=13}} \right.$

Частное решение:  $\widetilde{y}=xe^{3x}(9x+13)$



Общее решение неоднородного уравнения:
         $y=\overline{y}+\widetilde{y}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}+xe^{3x}(9x+13)$

Answer 2

Для решения этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вы можете использовать метод вариации постоянных (метод неопределенных коэффициентов).

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' - 5y' + 6y = 0.

Сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 5r + 6 = 0.

Далее факторизуем это уравнение:

(r - 2)(r - 3) = 0.

Отсюда получаем два корня:

r1 = 2 и r2 = 3.

Теперь общее решение однородного уравнения будет иметь следующий вид:

y_h(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(3x).

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = A(x) * e^(3x),

где A(x) - некоторая функция, которую мы должны найти. Подставляем это предположение в исходное уравнение:

(A''(x) * e^(3x) + 6A'(x) * e^(3x)) - 5(A'(x) * e^(3x)) + 6A(x) * e^(3x) = (18x + 21)e^(3x).

Теперь дифференцируем A(x) и подставляем обратно в уравнение:

(A''(x) - 5A'(x) + 6A(x)) * e^(3x) = (18x + 21)e^(3x).

Теперь сократим e^(3x) с обеих сторон уравнения:

A''(x) - 5A'(x) + 6A(x) = 18x + 21.

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка для функции A(x). Мы можем решить его, например, методом вариации постоянных или методом неопределенных коэффициентов. Пусть A(x) = C1(x) * e^(2x) + C2(x) * e^(3x), где C1(x) и C2(x) - функции, которые мы должны найти. Подставляем это предположение в уравнение и решаем относительно C1(x) и C2(x).

(A''(x) - 5A'(x) + 6A(x)) = (C1''(x) * e^(2x) + 4C1'(x) * e^(2x) + C2''(x) * e^(3x) - 15C2'(x) * e^(3x) + 6C1(x) * e^(2x) + 6C2(x) * e^(3x)).

Сокращаем e^(2x) и e^(3x):

C1''(x) * e^(2x) + C2''(x) * e^(3x) + (4C1'(x) - 15C2'(x)) * e^(3x) + (6C1(x) + 6C2(x)) * e^(3x) = 18x + 21.

Сравниваем коэффициенты при соответствующих экспонентах:

C1''(x) = 0, C2''(x) + (4C1'(x) - 15C2'(x)) = 0, 6C1(x) + 6C2(x) = 18x + 21.

Первое уравнение даёт C1(x) = Ax + B, где A и B - произвольные постоянные.

Подставляем C1(x) во второе уравнение:

C2''(x) + (4(A) - 15C2'(x)) = 0.

C2''(x) - 15C2'(x) + 4A = 0.

Решаем это линейное неоднородное уравнение для C2(x). После нахождения C2(x) подставляем обратно в третье уравнение и находим A и B.

После нахождения A(x), B(x), C1(x) и C2(x) мы сможем получить частное решение A(x) * e^(3x) и, следовательно, полное решение неоднородного уравнения y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Решение этого уравнения требует некоторых длительных вычислений, и я не могу предоставить конкретное числовое решение без значений A и B.