Question

Длина промежутка возрастания функции y=1+6x^2-x^3-9x равна

Answer 1

$y=1+6x^2-x^3-9x,\ x \in (-\infty; +\infty).\\ y'=-3x^2+12x-9=-3(x^2-4x+3)=-3(x-1)(x-3)\\ y'=0\ npu\ x=1;\ x=3$

Схема определения промежутков монотонности - во вложении.

Промежуток возрастания [1; 3]. Его длина равна 2.

Ответ: 2.

Answer 2

Для найти длину промежутка возрастания функции $y = 1 + 6x^2 - x^3 - 9x$, сначала найдем производную функции и выясним, когда она положительна.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y'(x) = \frac{d}{dx} (1 + 6x^2 - x^3 - 9x)$

$y'(x) = 12x - 3x^2 - 9$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: $12x - 3x^2 - 9 = 0$

Для этого уравнения можно сначала разделить все его члены на 3: $4x - x^2 - 3 = 0$

3. Теперь решим квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 3 = 0$

Факторизуем его: $(x - 3)(x - 1) = 0$

И находим корни: $x_1 = 1$ $x_2 = 3$

4. Теперь определим знак производной в интервалах между корнями и вне их. Создадим таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Интервал} & \text{Знак } y'(x) \\ \hline -\infty \text{ до } 1 & \text{?} \\ \hline 1 \text{ до } 3 & \text{?} \\ \hline 3 \text{ до } +\infty & \text{?} \\ \hline \end{array}$$

5. Определим знак производной в каждом из интервалов:

• Для интервала $-\infty$ до 1: Подставим любое число, например, $x = 0$, в $y'(x)$: $y'(0) = 12(0) - 3(0)^2 - 9 = -9$ Знак производной в этом интервале отрицательный.

• Для интервала 1 до 3: Подставим $x = 2$: $y'(2) = 12(2) - 3(2)^2 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9$ Знак производной также отрицательный.

• Для интервала 3 до $+\infty$: Подставим $x = 4$: $y'(4) = 12(4) - 3(4)^2 - 9 = 48 - 48 - 9 = -9$ Знак производной остается отрицательным.

Таким образом, производная $y'(x)$ всегда отрицательна, и функция $y(x)$ убывает на всей числовой прямой $(- \infty, +\infty)$. Следовательно, длина промежутка возрастания этой функции равна 0.