Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1; -2; 1) перпендикулярно прямой {x-2y+z-3=0 ; x+y-z+2=0} Прямая = система уравнений

Answer 1

Плоскость имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ координаты точки, через которую проходит плоскость, а $(A, B, C)$ её нормальный вектор.

За нормальный вектор можно взять направляющий вектор прямой. Найдём его как векторное произведение нормальных векторов двух других плоскостей (через которые и задана прямая) $\overline{a} = \overline{n}_1 \times \overline{n}_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 1 \\ 1&1 & -1\end{vmatrix} = \overline{i}(2 - 1) - \overline{j}(-1 - 1) + \overline{k}(1 + 2) = \overline{i} + 2\overline{j} + 3\overline{k}$

Итого наш ответ: $P : (x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 1) = 0$

или $P : x + 2y + 3z = 0$

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, -2, 1) и перпендикулярной прямой, заданной системой уравнений:

1. x - 2y + z - 3 = 0
2. x + y - z + 2 = 0

Для начала найдем направляющий вектор этой прямой. Для этого выразим x, y и z из системы уравнений:

Из уравнения 1: x = 2y - z + 3 Из уравнения 2: x = z - y - 2

Теперь у нас есть два уравнения для x в зависимости от y и z. Сравнив их, мы можем сказать, что:

2y - z + 3 = z - y - 2

Теперь мы можем выразить y через z:

2y - z + 3 = z - y - 2 3y = 2z - 5 y = (2/3)z - 5/3

Теперь у нас есть параметрические выражения для x, y и z через z:

x = 2y - z + 3 x = 2((2/3)z - 5/3) - z + 3

Упростим это выражение:

x = (4/3)z - 10/3

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой (x, y, z) = ((4/3)z - 10/3, (2/3)z - 5/3, z), который можно представить в виде (a, b, c), где a = (4/3), b = (2/3), и c = 1.

Теперь мы можем найти нормальный вектор для плоскости, который будет перпендикулярен этой прямой. Для этого мы используем коэффициенты a, b и c из направляющего вектора прямой:

Нормальный вектор плоскости N = (a, b, c) = (4/3, 2/3, 1)

Теперь, используя найденный нормальный вектор и точку M0(1, -2, 1), мы можем записать уравнение плоскости в общем виде:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Подставим значения:

(4/3)(x - 1) + (2/3)(y + 2) + (z - 1) = 0

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

4(x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 1) = 0

Теперь раскроем скобки и упростим:

4x - 4 + 2y + 4 + 3z - 3 = 0

4x + 2y + 3z - 7 = 0

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, -2, 1) и перпендикулярной прямой, заданной системой уравнений, равно:

4x + 2y + 3z - 7 = 0