Question

Какое наименьшее натуральное число n, у которого существует три различных натуральных делителя, произведение которых равно 14^600?

Answer 1

14^600 = 2^600 * 7^600, поэтому все простые делители сомножителей это 2 и 7.

Чтобы n было наименьшим, у него не должно быть делителей, отличных от 2 и 7 (если это было бы не так, можно было бы выбросить все остальные простые множители и получить меньшее n, у которого можно было бы найти те же три делителя).

Пусть степени двойки, входящие в сомножители, есть a <= b <= c, при этом a + b + c = 600. Тогда c >= 200 (если c <= 199, то a + b + c <= 3c <= 597). Значит, n делится на 2^200.

Аналогично, n делится на 7^200. Тогда n >= 2^200 * 7^200.

n = 2^200 * 7^200 не подходит: максимальный сомножитель может быть не больше n, остальные строго меньше n, поэтому произведение строго меньше n^3 = 14^600.

Следующий по возрастанию вариант n = 2^201 * 7^200. Он подходит: тремя делителями можно взять 2^199 * 7^200, 2^200 * 7^200, 2^201 * 7^200.

Ответ: 2^201 * 7^200.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, у которого существует три различных натуральных делителя, произведение которых равно $14^{600}$, мы можем воспользоваться следующими рассуждениями:

1. Зная, что $14^{600}$ = $2^{600} \times 7^{600}$, мы хотим разложить это число на три различных натуральных делителя.

2. Минимальное число делителей у числа $p^k$ (где $p$ - простое число, а $k$ - натуральное число) равно $k + 1$. Таким образом, минимальное число делителей для $14^{600}$ будет равно $(600 + 1) \times 3 = 1803$.

3. Однако у нас нужны три различных делителя. Поскольку нам нужно минимальное число, мы можем взять три минимальных различных делителя, которые будут являться степенями 2 и 7: $2^0$, $2^1$, $2^2$ и $7^0$, $7^1$, $7^2$. Таким образом, наименьшее число $n$ будет $2^2 \times 7^2 = 196$.

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, у которого существует три различных натуральных делителя, произведение которых равно $14^{600}$, равно 196.