Question

Чи ділиться добуток натуральних чисел від 1 до 20 на 243? Відповідь обґрунтуйте формулою

Answer 1

Число 243 можно разложить на множители:
243 = 3•3•3•3•3
(1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15•16•17•18•19•20) / 3•3•3•3•3 =
1•2•4•5•2•7•8•10•11•4•13•14•15•16•17•18•19•20
Делится, поскольку например, числа
3, 6, 9 и 12 сократились на пять троек и осталось 8:
3•6•9•12 / (3•3•3•3•3) =
= 1944 : 243 = 8

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо скористатися формулою для обчислення добутку натуральних чисел від 1 до n, де n - це число, до якого ми хочемо взяти добуток. Формула ця виглядає так:

n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n

У нашому випадку, n = 20, і ми хочемо знайти добуток чисел від 1 до 20, тобто 20!. Отже:

20! = 1 * 2 * 3 * ... * 19 * 20

Тепер давайте поділимо цей добуток на 243:

20! / 243

Потрібно визначити, чи результат цієї операції буде цілим числом. Щоб це встановити, перевіримо, чи 243 є дільником 20!.

Якщо 243 ділить 20!, то ця ділянка буде цілим числом.

Зараз знайдемо прості дільники числа 243:

243 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3

Отже, 243 розкладається на добуток п'яти трійок.

Тепер давайте перевіримо розклад числа 20!:

20! = 1 * 2 * 3 * ... * 19 * 20

Знайдемо всі прості дільники в цьому добутку:

• Прості дільники від 1 до 20 включно: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Зараз розглянемо, скільки разів кожен з цих простих чисел входить у розклад числа 20!:

• 2 входить 10 разів (1 раз в числах 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
• 3 входить 6 разів (1 раз в числах 3, 6, 9, 12, 15, 18).
• 5 входить 3 рази (1 раз в числах 5, 10, 15).
• 7 входить 2 рази (1 раз в числах 7, 14).
• 11, 13, 17 і 19 входять по 1 разу.

Тепер обчислимо кількість трійок у розкладі числа 20!. Ми бачимо, що трійка входить 5 разів у розклад числа 20!, а також 5 разів у розклад числа 243.

Оскільки кількість трійок у розкладі 20! більша або рівна кількості трійок у розкладі 243, то 20! може бути розділено на 243 без залишку.

Отже, відповідь на ваше запитання така: добуток натуральних чисел від 1 до 20 ділиться на 243 без залишку.