Question

Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е=1/2, фокус F(3,0) и уравнение соответствующей директрисы x+y-1=0.

Answer 1

Ответ:

7x²-2xy+7y²-46x+2y-73=0

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении. Надеюсь, будет понятно

Answer 2

Для составления уравнения эллипса, зная его эксцентриситет (e), фокус (F) и уравнение соответствующей директрисы, можно использовать следующие шаги:

1. Найдите координаты второго фокуса (F') и центра эллипса (C).
2. Найдите расстояние между фокусами (2a), где "a" - полуось эллипса.
3. Зная значение эксцентриситета (e), найдите полуось "b" эллипса, используя формулу: e = c / a, где "c" - расстояние от центра эллипса до фокуса, а "a" - полуось эллипса.
4. Теперь у нас есть значения "a" и "b".
5. Используйте координаты центра эллипса и полуосей "a" и "b", чтобы составить уравнение эллипса в стандартной форме.

Давайте начнем с шага 1:

1. Найдем координаты второго фокуса (F'): Первый фокус F имеет координаты (3, 0). Уравнение директрисы x + y - 1 = 0 можно представить в виде y = -x + 1. Следовательно, координаты второго фокуса F' равны (0, 1).

2. Теперь найдем расстояние между фокусами (2a): Мы знаем, что фокусы находятся на расстоянии 2a друг от друга. Мы также знаем, что один из фокусов находится в точке (3, 0), а другой в точке (0, 1). Вычислим расстояние между ними:

   d = √((3 - 0)^2 + (0 - 1)^2) = √(9 + 1) = √10

   Таким образом, 2a = √10, а значит, a = √10 / 2.

3. Теперь, зная значение эксцентриситета (e = 1/2), найдем полуось "b" с использованием формулы e = c / a:

   1/2 = c / (√10 / 2)

   Умножим обе стороны на (√10 / 2):

   c = (√10 / 2) * (1/2) = √10 / 4

4. Теперь у нас есть значения "a" и "b": a = √10 / 2 b = √10 / 4

5. Используя координаты центра эллипса (C), полуоси "a" и "b", можно составить уравнение эллипса в стандартной форме:

   (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

   Где (h, k) - координаты центра эллипса.

   Центр эллипса находится посередине между фокусами F и F', поэтому (h, k) = ((3 + 0) / 2, (0 + 1) / 2) = (3/2, 1/2).

   Теперь подставим значения a, b и (h, k) в уравнение:

   (x - 3/2)^2 / (√10 / 2)^2 + (y - 1/2)^2 / (√10 / 4)^2 = 1

   Упростим уравнение:

   (4/10)(x - 3/2)^2 + (16/10)(y - 1/2)^2 = 1

   Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от дробей:

   4(x - 3/2)^2 + 16(y - 1/2)^2 = 10

   Это уравнение эллипса с заданными параметрами.